Jacobi a écrit le traité classique sur les fonctions elliptiques, d'une importance capitale en physique mathématique pour l'intégration des équations du second ordre tirées de la conservation de l'énergie cinétique. En effet, dans les trois cas où les équations du mouvement, mises sous forme rotationnelle, sont intégrables :
- pendule,
- toupie symétrique dans un champ gravitationnel,
- et corps tournant librement,
les solutions s'expriment explicitement à l'aide des fonctions elliptiques.
Jacobi est aussi le premier mathématicien à appliquer les fonctions elliptiques à la théorie des nombres, prouvant par exemple la théorie du nombre polygonal de Pierre de Fermat. Il donne de nouvelles preuves de la loi de réciprocité quadratique, et y apporte des généralisations ; pour ce faire, il introduit ce qui aujourd'hui est connu sous le nom de sommes de Jacobi. La fonction thêta de Jacobi, si fréquemment appliquée dans l'étude des séries hypergéométriques, porte son nom. Il en a donné l'équation fonctionnelle.
Ses recherches dans les fonctions elliptiques, théorie pour laquelle il établit de nouvelles bases, et plus particulièrement le développement de la fonction thêta, apparaissent dans ses grands traités Fundamenta nova theoriæ functionum ellipticarum (Königsberg, 1829), et dans les articles ultérieurs du Journal de Crelle. Elles constituent l'une de ses plus grandes découvertes dans le domaine de l'analyse mathématique. Dans une autre branche des mathématiques, il a mené des recherches approfondies sur les équations différentielles, en particulier la théorie du dernier multiplicateur, laquelle est soigneusement traitée dans son Vorlesungen über Dynamik, édité par R. F. A. Clebsch (Berlin, 1866).
C'est surtout en analyse que Jacobi apporte de nombreuses contributions, avec des applications aux autres domaines des mathématiques, comme le montre la longue liste de ses publications dans le Journal de Crelle ou dans d'autres journaux. Il est l'un des fondateurs de la théorie des déterminants. En particulier, il invente le déterminant de la matrice (dite jacobienne) formée par les n dérivées partielles de n fonctions données de n variables indépendantes. Son déterminant, le déterminant jacobien est crucial dans le calcul infinitésimal.
Dans un article de 1835, Jacobi a démontré que :
« Si une fonction d'une variable complexe est périodique, alors elle a au plus deux périodes indépendantes. Dans ce cas, le quotient de ces périodes n'est pas un nombre réel. »
Ces fonctions doublement périodiques sont des fonctions elliptiques.
Jacobi a réduit l'équation quintique générale à la forme x − 10q**x = p. Ses présentations sur les transcendants abéliens sont toutes aussi remarquables, tout comme ses recherches sur la théorie des nombres, où il a surtout complété les travaux de Gauss.
La théorie planétaire et d'autres problèmes dynamiques particuliers ont occupé son attention de temps en temps. Pendant qu'il contribue à la mécanique céleste, il introduit la jacobienne pour un système de coordonnées sidérales.
Il a laissé une grande quantité de manuscrits, dont une partie a été publiée irrégulièrement dans le Journal de Crelle. Ses autres travaux comprennent Comnienlatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem (1832), Canon arithmeticus (1839), et Opuscula mathematica (1846—1857). Ses œuvres complètes (Gesammelte Werke) (1881–1891) furent publiées par l'Académie de Berlin. Sa réalisation la plus connue est probablement la théorie de Hamilton-Jacobi de la mécanique newtonienne.
L'identité de Jacobi apparaît dans l'étude des algèbres de Lie ; le jacobien est incontournable dans l'étude des équations différentielles ; le symbole de Jacobi est toujours utilisé en théorie des nombres et même en cryptographie (domaine postérieur au XIX siècle).
Sur la Lune, le cratère Jacobi (en) porte son nom.
