Décomposition polaire

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Introduction

Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.

{O_{n} (R) \times S_{n}^{++} (R) \to G L_{n} (R) (Q, S) \mapsto QS {O_{n} (R) \times S_{n}^{++} (R) \to G L_{n} (R) (Q, S) \mapsto S Q

Autrement dit, toute matrice inversible réelle se décompose de façon unique en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique strictement positive.

Les applications suivantes sont surjectives mais en général non injectives :

{O_{n} (R) \times S_{n}^{+} (R) \to M_{n} (R) (Q, S) \mapsto QS {O_{n} (R) \times S_{n}^{+} (R) \to M_{n} (R) (Q, S) \mapsto S Q

Méthode de décomposition polaire d'une matrice réelle

Soit M notre matrice à décomposer. On veut M = O**S avec O matrice orthogonale et S matrice symétrique.

On calcule :

M**M = S.
$S =^{t} M M$ .
O = M**S .

Exemple de décomposition polaire d'une matrice réelle

M = (3 1 - 3/2 33 /2)

^{t} M = (3 - 3/2 1 33 /2)

^{t} M M = 1/4 (21 - 53 - 53 31)

S =^{t} M M = 1/4 (9 - 3 - 3 11)

(S est bien une matrice symétrique définie positive).

S^{- 1} = 1/24 (11339)

O = M S^{- 1} = 1/24 (3 1 - 3/2 33 /2) (93311) = 1/2 (3 1 - 1 3)

Décomposition polaire d'une matrice complexe

Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.

{U_{n} (C) \times H_{n}^{++} (C) \to G L_{n} (C) (Q, S) \mapsto QS {U_{n} (C) \times H_{n}^{++} (C) \to G L_{n} (C) (Q, S) \mapsto S Q

Autrement dit, toute matrice inversible complexe se décompose de façon unique en produit d'une matrice unitaire et d'une matrice hermitienne strictement positive.

Les applications suivantes sont surjectives mais en général non injectives :

{U_{n} (C) \times H_{n}^{+} (C) \to M_{n} (C) (Q, S) \mapsto QS {U_{n} (C) \times H_{n}^{+} (C) \to M_{n} (C) (Q, S) \mapsto S Q

Remarque. Pour n=1, on retrouve l'écriture z = r**e d'un nombre complexe non nul. C'est la raison du nom de décomposition polaire : c'est une sorte de généralisation des coordonnées polaires.