Variété algébrique non-singulière

Une variété algébrique non-singulière (ou lisse) est une variété dépourvue de point singulier. C'est le cadre naturel de nombre de théorèmes fondamentaux en géométrie algébrique.

On dit qu'une variété algébrique X est régulière lorsque son anneau local O_X,x est un anneau local régulier pour tout point $x\in X$.

Soit X une variété algébrique sur un corps k. Soit $\bar{k}$ une clôture algébrique de k. On dit que X est non-singulière ou lisse si la variété $X_{\bar{k}}$ obtenue après le changement de base $\bar{k}/k$ est une variété régulière.

Exemples

• Les espaces affines $\mathrm{Spm}k[T_1,\dots ,T_n]$ et les espaces projectifs $\mathrm{Proj}k[T_0,\dots ,T_n]$ sont non-singulières.

• Une courbe plane Spm(k[T,S] / (F(T,S))) est non-singulière si et seulement si les polynômes $F,\partial F/\partial T,\partial F/\partial S$ n'ont pas de zéro commun dans ${\bar{k}}^2$ (ce qui équivaut à dire qu'ils engendrent l'idéal unité de k[T,S]).

• Si k est un corps imparfait (i.e. un corps qui n'est pas parfait), alors il existe $\lambda \in k$ qui ne soit une puissance p-ième, où p est la caractéristique de k. Soit k' = k[T] / (T − λ) l'extension radicielle définie par la racine p-ième de λ. Alors Spm(k') est une variété algébrique sur k, régulière mais pas non-singulière.

Remarque Être régulière est une propriété absolue de la variété algébrique, alors qu'être non-singulière dépend du corps de base que l'on considère. Dans l'exemple ci-dessus, Spm(k') n'est pas non-singulière en tant que k-variété, mais elle l'est en tant que k'-variété.

• Si X est non-singulière, alors elle est régulière. L'inverse est vrai si k est parfait.

• Critère jacobian: Soit X = Spm[T1,...,T**n] / (F1,...,F**m) une variété algébrique affine connex de dimension d. Alors X est non-singulière si et seulement si le rang de la matrice jacobienne Jac_x(F1,...,F**m) est égal à n − d pour tout x.

• Soit X une variété algébrique complexe (i.e. définie sur le corps des nombres complexes). Soit X l'espace analytique complexe associé à X. Alors X est non-singulière si et seulement si X est une variété analytique complexe, c'est-à-dire localement biholomorphe à un ouvert d'un ${\mathbb{C}}^n$.

• Si X est non-singulière et connexe de dimension n, alors X est irréductible et même intègre, et le faisceau des formes différentielles sur X est localement libre de rang n. Autrement dit, c'est un fibré vectoriel de rang n (appelé le fibré cotangent) sur X.

• Structure locale: Contrairement aux variétés analytiques complexes ou différentielles, une variété algébrique, même non-singulière, n'est pas localement (pour la topologie de Zariski) isomorphe à un ouvert d'un espace affine. Mais cela devient vrai si l'on remplace la topologie de Zariski par la topologie étale. En termes plus concrets, tout point d'une variété algébrique non-singulière possède un voisinage ouvert (de Zariski!) qui est un revêtement étale d'un espace affine. En géométrie algébrique, un rêvetement étale est un morphisme plat et non-ramifié.