Écoulement de Stokes

Lorsqu'un fluide visqueux s'écoule lentement en un lieu étroit ou autour d'un petit objet, les effets visqueux dominent sur les effets inertiels. Son écoulement est alors appelé écoulement de Stokes (ou écoulement rampant ; et on parle parfois de fluide de Stokes par opposition à fluide parfait). Il est en effet régi par une version simplifiée de l'équation de Navier-Stokes : l' équation de Stokes, dans laquelle les termes inertiels sont absents. Le nombre de Reynolds mesure le poids relatif des termes visqueux et inertiel dans l'équation de Navier-Stokes. L'écoulement de Stokes correspond ainsi à un faible nombre de Reynolds (beaucoup plus petit que 1).

L'équation de Stokes permet en particulier de décrire les écoulements de liquide dans les dispositifs microfluidiques. Les écoulements de Couette et de Poiseuille sont aussi décrits par cette équation.

L'équation de Stokes, qui décrit l'écoulement d'un fluide newtonien incompressible en régime permanent et à faible nombre de Reynolds, s'écrit :

$\eta \Delta \vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{grad}}p-\rho \vec{f}$,

où :

• $\vec{v}(\vec{r})$ est la vitesse du fluide ;
• $p(\vec{r})$ est la pression dans le fluide ;
• ρ est la masse volumique du fluide
• η est la viscosité dynamique du fluide;
• $\vec{f}$ est une force massique s'exerçant dans le fluide (par exemple : pesanteur) ;
• $\overrightarrow{\mathrm{grad}}$ et Δ sont respectivement les opérateurs différentiels gradient et laplacien.

L'équation de Stokes est une forme simplifiée de l'équation de Navier-Stokes. Pour un fluide newtonien, celle-ci s'écrit :

$\rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\rho \left(\vec{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\right)\vec{v}=\rho \vec{f}-\overrightarrow{\mathrm{grad}}p+\eta \Delta \vec{v}+\left(\zeta +\frac{\eta }{3}\right)\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\vec{v})$,

où :

• $\vec{v}(\vec{r},t)$ est la vitesse du fluide ;
• $p(\vec{r},t)$ est la pression dans le fluide ;
• ρ est la masse volumique du fluide
• η est la viscosité dynamique en cisaillement du fluide;
• ζ est la viscosité dynamique en compression du fluide;
• $\vec{f}$ est une force massique s'exerçant dans le fluide (par exemple : pesanteur) ;
• t représente le temps ;
• $\overrightarrow{\mathrm{grad}}$, div et Δ sont respectivement les opérateurs différentiels gradient, divergence et laplacien.

NB : pour établir cette formule, on doit supposer que les variations spatiales de η et ζ sont négligeables.

Si de plus le fluide est incompressible (bonne approximation pour les liquides), alors $\text{div}\vec{v}=0$ et l'équation se simplifie :

$\rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\rho \left(\vec{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\right)\vec{v}=\rho \vec{f}-\overrightarrow{\mathrm{grad}}p+\eta \Delta \vec{v}$.

On peut évaluer l'ordre de grandeur des termes inertiels et visqueux dans cette équation. Si la vitesse caractéristique du liquide est U, et si l'échelle typique de variation de la vitesse est L (celle-ci pourra être imposée par les dimensions du canal dans lequel le liquide s'écoule, les dimensions de l'objet autour duquel le liquide s'écoule, etc.), alors :

$\rho \left(\vec{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\right)\vec{v}\sim \frac{\rho U^2}{L}$ et $\eta \Delta \vec{v}=\rho \nu \Delta \vec{v}\sim \frac{\rho \nu U}{L^2}$,

où ν est la viscosité cinématique du liquide.

Le terme inertiel $\rho \left(\vec{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\right)\vec{v}$ sera donc négligeable devant le terme visqueux $\eta \Delta \vec{v}$ si :

$\frac{\rho U^2}{L}\ll \frac{\rho \nu U}{L^2}$, soit $\frac{UL}{\nu }\ll 1$,

où l'on reconnait l'expression du nombre de Reynolds.

Contrairement à l'équation de Navier-Stokes, l'équation de Stokes est linéaire (le terme inertiel, non-linéaire, est en effet négligeable). Les écoulements solutions de cette équation possèdent par conséquent des propriétés bien particulières :

• unicité : pour des conditions aux limites données (valeur de la vitesse au niveau des parois et/ou à l'infini), il existe un et un seul écoulement vérifiant l'équation de Stokes ;
• additivité : les solutions de l'équation de Stokes vérifient le principe de superposition : si ${\vec{v}}_1$ et ${\vec{v}}_2$ sont solutions, alors toute combinaison linéaire ${\lambda }_1{\vec{v}}_1+{\lambda }_2{\vec{v}}_2$ le sera aussi (ceci n'est pas incompatible avec la propriété d'unicité : seul l'écoulement vérifiant les bonnes conditions aux limites sera observé) ;
• réversibilité : si un champ de vitesse $\vec{v}(\vec{r})$ est solution de l'équation, alors $-\vec{v}(\vec{r})$ l'est aussi, à condition de changer le signe des gradients de pression, ainsi que des vitesses aux parois et à l'infini (ceci est une conséquence directe du principe de superposition) ; cette propriété est contraire à notre intuition, fondée sur notre expérience des écoulements macroscopiques : la réversibilité des écoulements à bas nombre de Reynolds a ainsi poussé les êtres vivants de très petite taille à développer des moyens de propulsion originaux .
• paradoxe de Stokes : Il faut prendre garde au fait que les solutions mathématiques de l'équation de Stokes, dans un cas donné ou dans certaines régions du domaine de solution, peuvent être physiquement fausses. Ceci est dû au "paradoxe de Stokes" à savoir que les conditions physiques permettant de ramener l'équation de N-S à l'équation de Stokes ne sont pas nécessairement réalisées dans tout le domaine de solution, a priori. On aboutit alors à des solutions présentant des comportements potentiellement aberrants dans certaines limites. C'est le cas par exemple "à l'infini" où souvent le terme inertiel finit par l'emporter sur le terme visqueux, sans qu'on puisse le préjuger a priori.