Fonction de Bessel

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Introduction

Les fonctions de Bessel, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom de Friedrich Bessel, et sont des solutions y de l'équation différentielle de Bessel :

x^{2} \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} - n^{2}) y = 0

pour tout entier naturel non nul n.

Il existe deux sortes de fonctions de Bessel :

les fonctions de Bessel de première espèce J_n, solutions de l'équation différentielle ci-dessus qui sont définies en 0,
les fonctions de Bessel de seconde espèce Y_n, solutions qui ne sont pas définies en 0 (mais qui ont une limite infinie en 0).

Les représentations graphiques des fonctions de Bessel ressemblent à celles des fonctions sinus ou cosinus, mais s'aplanissent parce qu'elles sont divisées par un terme de la forme $x$ .

Plot of Bessel J

Elles sont importantes dans beaucoup de problèmes physiques.

Applications :

les ondes électromagnétiques dans un guide cylindrique (antenne).
les modes de vibration d'une fine membrane circulaire ou annulaire.
l'étude d'instruments optiques.
Le pendule de Bessel

Expression des fonctions de Bessel

Les fonctions de Bessel de première espèce Jn sont définies par :

J_{n} (x) = (x /2)^{n} p = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{p}}{2 ^{2 p} p ! ( n + p )!} x^{2 p}

Les fonctions de Bessel de deuxième espèce ou fonctions de Neumann sont définies par :

Y_{n} (x) = λ \to n lim \frac{J _{λ} ( x ) cos ( λπ ) - J _{- λ} ( x )}{sin ( λπ )}

Propriétés (des Jn)

Relations de récurrence :

J_{n + 1} (x) = \frac{n J _{n} ( x )}{x} - J_{n}^{'} (x)

J_{n + 1} (x) + J_{n - 1} (x) = \frac{2 n}{x} J_{n} (x)

J_{n + 1} (x) - J_{n - 1} (x) = - 2 J_{n}^{'} (x)

On en déduit :

J_{1} (x) = - J_{0}^{'} (x)

\frac{d}{d x} (x^{n} J_{n} (x)) = x^{n} J_{n - 1} (x)

Orthogonalité :

λ_i et λ_j étant deux zéros distincts de J_n, on a : $\int_{0}^{1} x J_{n} (λ_{i} x) J_{n} (λ_{j} x) d x = 0$

Voir aussi:

fonction de Hankel
synthèse FM