Groupe d'homotopie

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie et topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures.

Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles.

Première définition

Soit X un espace topologique et x₀ un point de X. Soit ${\mathcal{B}}^i$ la boule unité de dimension i de l'espace euclidien ${\mathbb{R}}^i$. Son bord $\partial {\mathcal{B}}^i={\mathcal{S}}^{i-1}$ est la sphère unité de dimension i − 1.

Le i-ième groupe d'homotopie supérieur π_i(X,x₀) est l'ensemble des classes d'homotopie relative à ${\mathcal{S}}^{i-1}$ d'applications continues $f:{\mathcal{B}}^i\to X$ telle que : $f({\mathcal{S}}^{i-1})=\{x_0\}$.

Un élément de π_i(X,x₀) est donc représenté par une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la (i − 1)-sphère vers le point de référence $x_0\in X$, la fonction étant définie modulo homotopie relative à ${\mathcal{S}}^{i-1}$.

Deuxième définition

En identifiant le bord du disque à un point s₀, on obtient une sphère ${\mathbb{S}}^i$ et chaque élément de π_i(X,x₀) se définit par les classes d'homotopie des applications ${\mathbb{S}}^i\to X$ par lesquelles le point base s₀ de la sphère se transforme en x₀. On peut dire que les éléments du groupe π_i(X,x₀) sont les composantes connexes de l'espace topologique des applications ${\mathbb{S}}^i\to X$ pour lesquelles on a : $s_0\mapsto x_0$.

Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier le disque ${\mathbb{D}}^i$ avec le cube ${\mathbb{I}}^i=[0;1{]}^i$ de dimension i dans ${\mathbb{R}}^i$.

La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube $f,g:({\mathbb{I}}^i,{\mathbb{S}}^{i-1})\to (M,x_0)$ est l'application $f+g:({\mathbb{I}}^i,{\mathbb{S}}^{i-1})\to (M,x_0)$ définie par la formule :

$(f+g)(t_1,t_2,\dots ,t_i)=f(2t_1,t_2,\dots ,t_n)$ pour $t_1\in [0;\frac{1}{2}]$

et

($f+g)(t_1,t_2,\dots ,t_n)=g(2t_1-1,t_2,\dots ,t_n$) pour $t_1\in [\frac{1}{2};1]$.

Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un inverse et la loi est commutative si $i⩾2$.

On définit donc un groupe commutatif si $i⩾2$.

On obtient le groupe fondamental si i = 1

Suite exacte longue d'homotopie d'une fibration et fonctorialité

• V. suite exacte et fibrations

Groupes d'homotopie relatifs et suite exacte longue d'homotopie d'un couple

• V. suite exacte

Homologie et homotopie : le théorème d'Hurewicz

Pour un espace topologique X, on a deux familles de groupes associés à X : Les groupes d'homotopie (relatifs) notés π_i(X,A,x₀) et les groupes d'homologie singulière (relatifs) notés H_i(X,A). Les groupes d'homologie sont plus faciles à calculer que les groupes d'homotopie, et on s'interroge sur le lien entre ces deux familles de groupes.

On a un morphisme de groupes naturel $h_n:{\pi }_n(X,A,\ast )\to H_n(X,A)$.

Si $A\subset X$ sont connexes par arcs et si le couple (X,A) est n-1-connexe, $n\ge 2$ alors :

• d'une part le théorème d'Hurewicz relatif affirme que H_i(X,A) = 0 (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un épimorphisme dont le noyau est engendré par les éléments ω(β) − β avec $\omega \in {\pi }_1(A,\ast )$ et $\beta \in {\pi }_n(X,A,\ast )=1$ ; en particulier, si π₁(A, * ) = 1, alors h_n est un isomorphisme ;
• d'autre part le théorème d'Hurewicz absolu (A=*) affirme que si X est n-1-connexe, $n\ge 2$, on a H_i(X, * ) = 0 (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un isomorphisme.

Pour n=1, voir Théorème d'Hurewicz

Le théorème de Whitehead pour les CW-complexes (complexes cellulaires)

• Voir CW-complexes

Théorèmes de périodicité de Bott

Un espace est dit asphérique ou un K(π,1) si les groupes d'homotopies sont triviaux sauf le π₁

Contrairement au groupe fondamental (i=1) et aux groupes d'homologie et de cohomologie, il n'y a pas de méthode simple de calcul des groupes d'homotopie dès que $i⩾2$ (Il manque un analogue des théorèmes d'excision et de Van-Kampen).

Groupes d'homotopie des sphères

Cas des groupes de Lie

Le groupe fondamental est commutatif. L'action du π₁ sur les π_i est triviale.

• Doubrovine, Novikov, Fomenko : Géométrie contemporaine, tomes 2 et 3, ed. Mir (Moscou)
• Jean Dieudonné : Eléments d'analyse, tome 9, ed. Jacques Gabais