Topologie algébrique

La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces topologiques. Plus exactement, elle cherche à associer de manière naturelle des invariants aux structures topologiques associées. La naturalité signifie que ces invariants vérifient des propriétés de fonctorialité au sens de la théorie des catégories.

L'idée fondamentale est de pouvoir associer à tout espace topologique un objet algébrique (groupe, espace vectoriel, ...), de sorte qu'à deux espaces homéomorphes sont associés deux structures isomorphes. De tels objets sont appelés des invariants algébriques. En termes savants, il s'agit d'étudier des foncteurs depuis la catégorie des espaces topologiques sur une catégorie algébrique, comme les catégories de groupes, algèbres, groupoïdes, etc. Des résultats de topologie passent alors par la démonstration plus abordable de propriétés algébriques.

Parmi les invariants notables, citons :

• Le groupe fondamental d'un espace topologique X en un point x : l'ensemble des classes d'homotopie des lacets de X de base x, la loi de composition interne étant la concaténation des lacets.
• Les groupes d'homotopie supérieure d'un espace topologique X en un point x.
• Les groupes d'homologie ou de cohomologie d'un espace topologique X.
• Les classes caractéristiques d'un fibré vectoriel réel, complexe, euclidien, ou hermitien.

• Le théorème de Brouwer : toute application continue du disque unité de ${\mathbb{R}}^n$ dans lui-même admet un point fixe.
• Le théorème de la boule chevelue : tout champ continu de vecteurs tangents à une sphère de dimension paire s'annule en au moins un point.
• Le théorème de Borsuk-Ulam : toute application S dans ${\mathbb{R}}^n$ prend la même valeur en deux points antipodaux. Par exemple, à tout instant, il existe deux points à la surface de la Terre diamètralement opposés ayant même température et même pression.