Loi de composition

En mathématiques, une loi de composition, ou loi tout court, est une relation ternaire qui est aussi une application. C’est donc une application d’un produit cartésien de deux ensembles E et F dans un troisième ensemble G, avec G égal à E ou à F.

Quand nous définissons sur un ensemble E un nombre fini de lois de composition vérifiant certaines conditions, nous munissons l’ensemble d’une structure algébrique. Les conditions vérifiées par les lois s’appellent les axiomes de la structure de E.

Une loi (de composition) * : E × F → G, avec G = E ou G = F, est une application de E × F dans G qui associe à chaque couple ( x, y ) de E × F, un élément de G noté habituellement « x * y » (au lieu de la notation fonctionnelle « * ( x, y ) ») et appelé composé de x et de y, ou encore produit de x et y.

x et y sont parfois qualifiés d’opérandes, car une loi n’est qu’un cas particulier d’opération.

G doit être égal à E ou à F. Plus précisément :

• si E = F = G, la loi * : E × E → E est appelée loi de composition interne dans E;
• si E ≠ F et G = F, la loi * : E × F → F est appelée loi de composition externe à gauche sur F ou loi de composition externe, et E est alors le domaine des opérateurs;
• si E ≠ F et G = E, la loi * : E × F → E est appelée loi de composition externe à droite sur E de domaine F.

Il existe plusieurs notations pour les lois :

• la plus courante est la notation infixe; elle est plus « parlante», mais nécessite le recours à des parenthèses pour préciser l’ordre d’exécution des opérations, s’il y en a plusieurs :

• une variante en est la notation par juxtaposition, où le symbole de la loi est omis :

• la notation préfixe, ou polonaise, se passe de parenthèses :

$\ast xy$, parfois $\ast x,y$

• la notation suffixe, ou polonaise inverse, se passe aussi de parenthèses :

$xy\ast$, parfois $x,y\ast$

• la notation losange, mais nécessite le recours à des parenthèses pour préciser l’ordre d’exécution des opérations, s’il y en a plusieurs :

• Un produit scalaire sur un $\mathbb{K}$-espace vectoriel E est une loi de E× E dans $\mathbb{K}$.
• l’exponentiation entière des réels est une loi de $\mathbb{R}\times \mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$;
• les exemples les plus courants de lois de composition sont les opérations arithmétiques, comme l’addition, la soustraction, la multiplication et la division; attention toutefois, ce ne sont pas toujours des lois de composition : ainsi, la soustraction n’est pas une loi de composition dans $\mathbb{N}$;
• un exemple de multiplication externe est la multiplication d’un vecteur par un scalaire en algèbre linéaire.

Les lois internes sont la clef de voûte des structures algébriques étudiées en algèbre générale; elles définissent les groupes, les monoïdes, les semi-groupes, les anneaux, etc.

La structure générale de magma est un ensemble muni d’une loi de composition interne quelconque. Beaucoup de lois internes sont commutatives ou associatives, et ont souvent un élément neutre et des éléments symétrisables. Les exemples typiques de telles lois sont l’addition (notée +) et la multiplication (notée ×) des nombres ou des matrices et aussi la composition d'applications d’un ensemble dans lui-même. Toutefois, la multiplication des matrices ou la composition des applications ne sont pas en général commutatives.

Des exemples de lois qui ne sont jamais commutatives sont la soustraction (notée -) ou la division (notée ÷ ou .

Par rapport à une loi interne, une loi externe fait intervenir des éléments de l’extérieur, appelés opérateurs ou scalaires. Une loi externe E × F → F peut être vue comme une opération de E sur F et on dit que E opère sur F.