Inégalités de Bell

En mécanique quantique, les inégalités de Bell (du nom de leur auteur : John Stewart Bell) sont les relations que doivent respecter les mesures sur des états intriqués dans l'hypothèse d'une théorie déterministe locale à variables cachées. Jusqu'à présent, l'expérience démontre que les inégalités de Bell sont systématiquement violées, nous forçant à renoncer à une des deux hypothèses suivantes:

• Un signal ne peut aller plus vite que la vitesse de la lumière dans le vide.
• Un objet ne peut occuper qu'un seul endroit de l'espace à un instant donné (principe de localité).

Deux particules sont dites dans un état intriqué lorsque l'état des deux particules n'est pas factorisable en un produit tensoriel de deux états à une particule. Cela peut être obtenu par exemple lorsqu'une particule se scinde en deux particules identiques. Les lois de conservation conduisent à des valeurs identiques ou strictement opposées des propriétés de ces deux particules tels que l'impulsion ou le moment angulaire (l'état de spin).

Ce type de situation est décrit dans le paradoxe EPR.

Lorsque l'on effectue une même mesure, par exemple la mesure du spin dans une direction donnée, sur deux particules intriquées on obtient deux résultats corrélés (deux résultats identiques dans le cas du spin d'un photon).

À priori, cela semble être tout à fait normal puisque ces deux particules sont corrélées entre elles au départ (de par leur intrication). Mais au regard de la mécanique quantique, cela paraît être incompréhensible puisque les résultats des mesures sont probabilistes, probabilité aveugle selon l'école de Copenhague. Ainsi, une particule dans un état non polarisé peut être mesurée avec un spin vertical ou horizontal avec une chance sur deux. Et des mesures successives sur des particules dans les mêmes conditions d'expériences donneront des résultats différents. Cependant, bien que les résultats soient localement aléatoires pour chacune des deux particules intriquées, on observe toujours une corrélation entre les deux résultats.

En fait, cela n'est pas en contradiction avec la mécanique quantique car il faut bien s'entendre sur la signification du terme "même état". Dans le cas de particules successives indépendantes, il s'agit plutôt d'états semblables. Tandis que dans le cas de deux particules intriquées il s'agit d'un seul et même état décrivant les deux particules.

Dans le cas de deux particules indépendantes, on décrira l'état comme :

Tandis que dans le cas intriqué une telle décomposition n'est pas possible.

Le résultat d'une mesure n'est pas totalement inscrit dans l'état de la particule puisque les résultats ont une nature probabiliste. Toutefois la mesure sur les deux particules donne bien le même résultat. Quelle est la nature du lien garantissant le fait que le résultat sera le même ? Plusieurs hypothèses sont possibles.

Théories non locales

Dans ce cas on émet l'hypothèse qu'un signal instantané (de nature inconnue) permet à une particule d'être informée du résultat d'une mesure sur l'autre particule. Certaines variantes de l'expérience d'Aspect montrent que ce signal devrait même remonter le temps dans le référentiel d'une des deux particules.

Variables cachées

L'hypothèse précédente a l'inconvénient d'être en désaccord avec la relativité restreinte. De plus, le comportement probabiliste de la mécanique quantique peut être perçu comme une anomalie de cette théorie. Une solution consiste à émettre l'hypothèse que la description quantique de l'état est incomplète. Il existerait des variables cachées qui déterminent de manière univoque le résultat d'une mesure. Comme dans un raisonnement classique, ce n'est que l'ignorance de la valeur exacte de ces variables qui donne un comportement probabiliste. Le lien entre les particules intriquées devient superflu car le fait qu'elles soient totalement identiques garantit que leurs variables cachées ont même valeur et donc que les mesures donnent le même résultat.

Les inégalités de Bell modélisent la statistique des corrélations associées à ce type de théories. Leur violation montrent donc que l'intrication ne peut être décrite par une théorie locale à variables cachées.

Mécanique quantique

La troisième possibilité est d'admettre la mécanique quantique telle qu'elle est. De dire que les mesures sont réellement probabilistes et les états intriqués correctement décrits par la mécanique quantique. Cela peut poser de gros problèmes d'interprétations qui ne sont d'ailleurs pas entièrement résolus à notre époque. La nature du "lien" entre les deux particules reste assez difficile à saisir (voir Conclusions).

Multivers (théorie d'Everett)

Selon cette théorie, il n'est pas besoin de faire appel à des variables cachées ni à une transmission d'information d'état d'une particule vers une autre : tous les couples d'états valides, pour les deux particules, existent simultanément dans des réalités parallèles. Le fait pour un observateur d'effectuer une mesure le fait entrer dans une de ces réalités, lui donnant l'impression que l'état des deux particules est affecté simultanément malgré la distance qui les sépare. Cette solution entre dans la catégorie "théorie à variables cachées non-locales", la variable cachée étant "dans quelle branche d'univers sommes nous ?".

Les mesures ne sont pas nécessairement identiques sur les deux particules. Par exemple, on peut mesurer le spin d'une des particules selon un certain angle et le spin de l'autre particule selon un autre angle.

Les résultats des mesures sont alors de nature statistique. Par exemple, la mesure du spin à l'aide d'un polariseur donne toujours un résultat tout ou rien. Ce que l'on obtiendra alors pour les deux mesures sont des statistiques de coïncidences : les deux mesures donnent un résultat identique dans X% des cas (et non 100% dans le cas de mesures identiques). Un grand nombre de mesures successives (sur un grand nombre de paires de particules) permet alors de calculer la corrélation entre ces mesures de spin sous des angles différents.

Si l'on se place dans l'hypothèse des théories locales déterministes à variables cachées, les inégalités de Bell donnent des relations auxquelles ces corrélations doivent obéir.

Nous allons démontrer ces inégalités dans un cas un peu plus simple que celui d'un angle quelconque afin de bien montrer l'origine du raisonnement.

Soit deux particules α et β dont le spin a trois composantes A, B et C. Les composantes peuvent prendre deux valeurs + et -. Pour chaque composante, nous noterons les valeurs A , B , etc. Les deux particules ont des spins opposés. Lorsque α a la composante A , alors β a la composante A , etc.

On mesure des paires de valeurs A**B, A**C et B**C sur les deux particules. Le résultat des mesures est désigné par A C , etc.

Si l'état des particules est déterministe, décrit par des variables cachées, alors chaque particule a un spin parfaitement déterminé avec des composantes A, B et C précises. Même si les variables cachées ne sont pas connues avec exactitude, et donc le spin, il n'empêche que cette valeur précise existe.

Soit un ensemble de particules dans un état de spin donné pris dans un ensemble plus vaste, quelconque, de particules dans tous les états possibles. Par exemple $⟨A^{+}{B}^{+}⟩$ est l'ensemble des particules avec ces composantes, $⟨A^{+}{B}^{+}{C}^{+}⟩$ l'ensemble des particules avec ces composantes,...

Alors nous aurons :

et

Ces relations découlent tout simplement de la théorie des ensembles.

Donc :

Si $N\left(A^{+}{B}^{+}\right)$ désigne le nombre de particules dans cet état, alors :

Maintenant, nous effectuons nos mesures sur deux particules de spins opposés et ces particules sont émises sous forme d'un flux de particules de spins quelconques. Nous en déduisons que :

où $P\left(A^{+}{B}^{+}\right)$ est la probabilité de mesurer A sur l'une des particules et B sur l'autre.

C'est un exemple d'inégalité de Bell.

Dans le cas de la mesure du spin selon un angle quelconque, on n'utilise que deux composantes du spin et l'angle entre les composantes. Le calcul est un peu plus compliqué mais semblable. Le résultat est :

où α, β et γ sont des angles donnés aux polariseurs et $C\left(\alpha ,\beta \right)$ est la fonction de corrélation pour ces deux angles (la corrélation peut être négative).

Dans le cas de la mécanique quantique, si l'angle du premier polariseur est α et l'angle du deuxième polariseur est β, alors le calcul (identique à la probabilité de mesurer le spin selon l'angle α alors que l'on sait que le spin a été mesuré selon l'angle β) donne :

Comme on mesure des coïncidences, la fonction de corrélation est alors donnée par :

On voit que les inégalités de Bell sont violées pour, par exemple, des angles égaux à $\alpha =0^{\circ }$, $\beta =25^{\circ }$ et $\gamma =115^{\circ }$.

L'expérience (par exemple celle d'Alain Aspect) a largement confirmé ces résultats et aussi que la loi de Malus était vérifiée sur des photons individuels.

Il est remarquable que selon la théorie, avec des instruments performants à 100% on aurait théoriquement une corrélation absolue entre les particules intriquées. Or cela est simplement impossible à vérifier technologiquement. Les inégalités de Bell dans leur formulation initiale étaient impossibles à vérifier avec un appareillage réel. Des éléments comme la disposition des polariseurs, filtres et détecteurs devaient fausser les résultats des expériences. Pour pouvoir faire une expérience réalisable techniquement, il était donc nécessaire d'intégrer dans les calculs initiaux de Bell la marge d'erreurs induites par l'appareil expérimental. Il existe des polarisateurs et des filtres opérant avec une efficacité de 95 à 98%, l'efficacité des photomultiplicateurs étant de l'ordre de 10 à 20%, il fallait donc tenir compte de ces limites technologiques lors des expériences. C'est ainsi que, pour pouvoir tester l'inégalité de Bell avec l'imperfection des techniques réalistes, des hypothèses additionnelles de CHSH (en) et de CH74 inequality (en) furent introduites dans les expériences pour transformer les inégalités faibles de Bell ne pouvant être vérifiés qu'avec des instruments parfaits, en inégalités fortes enfin vérifiables avec des instruments réels. Inégalités fortes qui furent systématiquement violées par les expériences et confirmant les prédictions quantiques.

Comme les inégalités de Bell sont expérimentalement violées, il semble impossible de construire une théorie locale déterministe à variables cachées rendant compte des résultats expérimentaux. Cela n'interdit pas la construction de théories déterministes non locales à variables cachées. Cependant, le fait que la mécanique quantique n'ait jamais été mise en défaut semble rendre peu utile une telle recherche. Louis De Broglie, a ainsi proposé une modélisation des ondes quantiques où la fonction d'onde ou onde pilote devait guider le mouvement de la particule de façon causale et déterministe, mais non locale. La particule devant se trouver potentiellement sur toute l'étendue de l'onde pilote, une onde bien réelle et définie dans l'espace en temps réel. Dans cette théorie, la variable cachée est la force de potentiel quantique. L'expérience des fentes d'Young a permis de vérifier certains aspects de cette thèse sur base de l'analyse de la diffraction. Néanmoins, si la plupart des théories explicitement non locales (signaux instantanés) semblent être en contradiction avec la relativité restreinte, il est intéressant de signaler que la relativité restreinte et la mécanique quantique sont compatibles. D'autres résultats comme le théorème de Kochen-Specker renforcent cette attitude.

En fait, l'intrication qui établit la corrélation entre les particules intriquées peut être vue comme étant réalisée par une transmission d'information qui est qualifiée "d'instantanée", l'observation d'une des particules réduisant la fonction d'onde de la seconde particule de façon matricielle. Ce qui est considéré comme interdit par la physique relativiste. En pratique ce qui est déterminé comme un transfert d'information échappe à tout contrôle jusqu'à ce que les deux particules soient respectivement observées. Pratiquement, il faut observer les deux particules successivement et comparer leurs états par un canal d'information relativiste parfaitement classique. Ce qui permet dans la pratique à la mécanique quantique de ne pas violer ce principe fondamental de la physique relativiste, la comparaison étant réalisée par un canal classique qui n'est pas du tout instantané. Enfin, comme en témoigne la cryptographie quantique, l'état instantané de la première particule obtenue de façon aléatoire qui doit déterminer l'état de la seconde particule n'étant pas prévisible, l'information transmise de façon matricielle est ignorée avant l'observation des deux particules respectives, il n'y a ainsi aucun moyen de transférer des informations en se basant sur les propriétés de l'intrication.

Selon la mécanique quantique, il faut considérer les particules intriquées comme un seul objet devenu inséparable, étant donné que selon l'expérimentation la mécanique quantique est non locale. Notre intuition naturelle ne permettant pas d'appréhender la réalité de façon non locale, la corrélation entre les particules intriquées nous parait inacceptable. Cette vision séparatiste donnant l'impression d'un lien instantané est suggérée par l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique, qui toutefois se défend de vouloir donner un modèle physique de la réalité, mais simplement des règles opérationnelles. Même si ce n'est pas la seule, c'est l'interprétation la plus répandue et la plus naturelle en ce qu'elle est une image directe du comportement probabiliste des mesures expérimentales. Dans le cadre de cette interprétation, la mesure sur une particule "réduit" sa fonction d'onde qui ne prend alors plus qu'une seule valeur possible : celle mesurée. Comme les particules sont intriquées, l'autre particule voit également sa fonction d'onde réduite instantanément. Selon l'école de Copenhague, les tentatives de donner un sens aux résultats mathématiques des prévisions quantiques ne sont pas des problèmes de physique. Le chat de Schrödinger ne résout pas le problème de la complétude ou non de la physique quantique, étant impossible à vérifier, et relève selon l'école de Copenhague d'une approche philosophique dont la théorie quantique n'aurait pas besoin pour être confortée.

Quoi qu'il en soit, le problème de l'interprétation de la violation des inégalités de Bell, de l'intrication et de la mécanique quantique en général est un problème difficile et le débat reste ouvert.

Travaux originaux

• J. S. Bell, On the Einstein Podolsky Rosen Paradox, Physics 1 (1964), 195.

• J. S. Bell, On the problem of hidden variables in quantum mechanics, Review of Modern Physics 38 (1966), 447.

• J. S. Bell, Introduction to the hidden variable question, Proceedings of the International School of Physics Enrico Fermi, Course IL, Foundations of Quantum Mechanics (1971), 171-181.

• J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge University Press (1987), ISBN

• M. Bell, K. Gottfried & M. Veltman ; John S Bell on the foundations of quantum mechanics, World Scientific (2001), ISBN 981-02-4688-9.

Autres références

• Banesh Hoffmann, Michel Paty, L'étrange histoire des quanta, Editions du seuil, 1981.

• Alain Aspect ; Quelques tests expérimentaux des fondements de la mécanique quantique (en optique), Qu'est-ce que l'Univers ?, Vol. 4 de l'Université de Tous les Savoirs (sous la direction d'Yves Michaux), Odile Jacob (2001), ISBN 2-7381-0917-9, pp. 589. Dualité onde-corpuscule, intrication quantique & paradoxe EPR expliqués par un professeur d'optique à l'Université de Paris-Sud (Orsay), auteur en 1982 d'une expérience testant les inégalités de Bell.

• Alain Aspect ; Bell's Theorem : The naive view of an experimentalist, conférence en mémoire de John Bell (Vienne, Décembre 2000). Publié dans : R. A. Bertlmann et A. Zeilinger (eds.) ; Quantum [un]speakables - From Bell to quantum information, Springer (2002). Texte complet disponible sur l'ArXiv : quant-ph/0402001.

• R. Jackiw, A. Shimony ; The depth and breadth of John Bell's physics, Phys.Perspect. 4 (2004) 78-116. Texte complet disponible sur l'ArXiv : physics/0105046.

• Asher Peres ; All the Bell inequalities, Foundations of Physics 29 (1999) 589-614. Texte complet disponible sur l'ArXiv : quant-ph/9807017.

• H. M. Wiseman ; From Einstein's theorem to Bell's theorem: a history of quantum nonlocality, Contemporary Physics 47, 79-88 (2006) ; texte complet disponible sur l'ArXiv : quant-ph/0509061 (Septembre 2005).