Image directe

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L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application $f : X \to Y$ est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont au moins un antécédent par f d'un élément de A :

$f (A) = {f (x) / x \in A}$ ,

ou $f (A) = {y \in Y /\exists a \in A, y = f (a)}$ .

Si A=X, alors f(X) est appelée l'image de (l'application) f.

On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie de X, avec l'image par f d'un élément x de X.

Exemple : Considérons l'application $f : {1, 2, 3} \to {a, b, c, d}$ , définie par

1 \mapsto a, 2 \mapsto c, 3 \mapsto d

L'image directe de {2,3} par f est f({2,3})={c,d} tandis que l'image de f est {a,c,d}.

Propriétés élémentaires

Pour toutes parties A₁ et A₂ de X,

f (A_{1} \cup A_{2}) = f (A_{1}) \cup f (A_{2})

f (A_{1} \cap A_{2}) \subset f (A_{1}) \cap f (A_{2})

L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général. Considérons l'unique application $f : {0, 1} \to {0}$ . L'image par f de toute partie non vide est le singleton {0}.

[\forall A_{1} \subset X, \forall A_{2} \subset X, f (A_{1} \cap A_{2}) = f (A_{1}) \cap f (A_{2})] \Leftrightarrow f i nj ec t i v e

.

pour toute partie B de Y, $f (f^{- 1} (B)) \subset B$ .

\forall B \subset Y, f (f^{- 1} (B)) = B \Leftrightarrow f s u r j ec t i v e

.

pour toute partie A de X, $A \subset f^{- 1} (f (A))$

\forall A \subset X, A = f^{- 1} (f (A)) \Leftrightarrow f i nj ec t i v e

.

Pour toute famille $(A_{i})_{i \in I}$ de parties de X,

f (i \in I ⋂ A_{i}) \subset i \in I ⋂ f (A_{i})

Pour toute famille $(A_{i})_{i \in I}$ de parties de X,

f (i \in I ⋃ A_{i}) = i \in I ⋃ f (A_{i})