Matrice à diagonale dominante

En algèbre linéaire, une matrice carrée à coefficients réels ou complexes est dite à diagonale dominante lorsque le module de chaque terme diagonal est supérieur ou égal à la somme des modules des autres termes de sa ligne. Si $A=((a_{i,j}{)}_{i,j\in [[1,n]]})$, on a alors

De la même manière, A est dite à diagonale strictement dominante lorsque

La matrice

vérifie

$|a_{11}|\ge |a_{12}|+|a_{13}|$ car $|3|\ge |1|+|1|$

$|a_{22}|\ge |a_{21}|+|a_{23}|$ car $|-3|\ge |1|+|2|$

$|a_{33}|\ge |a_{31}|+|a_{32}|$ car $|4|\ge |-1|+|2|.$

C'est donc une matrice à diagonale dominante.

La matrice

vérifie

$|b_{22}|\ge |b_{21}|+|b_{23}|$ car $|3|\ge |1|+|2|$

mais

$|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|$ car $|-2|<|2|+|1|$

et

$|b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|$ car $|0|<|1|+|-2|.$

Ce n'est donc pas une matrice à diagonale dominante.

La matrice

vérifie

$|c_{11}|>|c_{12}|+|c_{13}|$ car $|-4|>|2|+|1|$

$|c_{22}|>|c_{21}|+|c_{23}|$ car $|6|>|1|+|2|$

$|c_{33}|>|c_{31}|+|c_{32}|$ car $|5|>|1|+|-2|.$

C'est donc une matrice à diagonale strictement dominante.

C'est un cas particulier du Théorème de Gerschgorin. Inversement, il peut servir de lemme pour démontrer ce dernier.

Enoncé

Si $A=((a_{i,j}{)}_{i,j\in [[1,n]]})$ est une matrice à diagonale strictement dominante alors A est inversible.

Démonstration

Par la contraposée. Supposons A non inversible alors son noyau n'est pas réduit à zéro,
il existe donc : $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1{x}_2⋮x_n\end{array}\right)\ne 0$ tel que A**X = 0 .
On a alors : $\forall i\in [[1,n]],{\sum }_{j=1}^n{a}_{i,j}{x}_j=0.$
Comme $X\ne 0$, il existe $x_{i_0}\ne 0$ tel que $|x_{i_0}|=\max \left\{|x_i|,i\in [[1,n]]\right\}$.
On a : $-a_{i_0,i_0}{x}_{i_0}={\sum }_{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=1}{j\ne i_0}}^n{a}_{i_0,j}{x}_j$ , d'où $|a_{i_0,i_0}{x}_{i_0}|⩽{\sum }_{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=1}{j\ne i_0}}^n|a_{i_0,j}{x}_j|$ ,
et comme : $\forall j\in [[1,n]],\frac{|x_j|}{|x_{i_0}|}⩽1$ ,
on obtient $|a_{i_0,i_0}|⩽{\sum }_{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=1}{j\ne i_0}}^n|a_{i_0,j}|\frac{|x_j|}{|x_{i_0}|}⩽{\sum }_{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=1}{j\ne i_0}}^n|a_{i_0,j}|$
Finalement, $|a_{i_0,i_0}|⩽{\sum }_{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=1}{j\ne i_0}}^n|a_{i_0,j}|$, ce qui prouve que A n'est pas à diagonale strictement dominante, et termine ainsi la démonstration.