Mouvement parabolique

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Introduction

Le mouvement parabolique est un type de mouvement qui s'effectue lorsqu'un projectile est soumis à une vitesse initiale et à la seule accélération de la pesanteur. Un exemple courant de mouvement parabolique est l'obus tiré depuis un canon.

Position du problème

Soit un corps supposé ponctuel de masse m, étudié dans un repère (O, x, y, z), supposé galiléen z étant la verticale, dirigée vers le haut. Ce corps est placé dans un champ de pesanteur, l'accélération de la pesanteur est g. Le corps est lancé depuis le point (x₀, y₀, z₀) avec une vitesse initiale : $V_{0} = (V_{x} 0 V_{z})$

On suppose ici qu'il n'y a pas de composante de vitesse suivant l'axe $y$ , tout le mouvement a donc lieu dans un plan parallèle au plan (xOz). On note t le temps.

Résolution de l'équation

La seule force à laquelle soit soumise le corps est la gravité (on peut affiner le problème en ajoutant par exemple le frottement dû à l'air). La seule accélération imprimée au corps est donc l'accélération de la pesanteur.

a = (00 - g)

Pour en déduire la vitesse, il suffit d'intégrer l'accélération.

V = (C 1 C 2 - g t + C 3)

C1, C2 et C3 sont des constantes d'intégration, données par les conditions initiales. En effet à t = 0, $V = V_{0}$ , soit $(C 1 C 2 - g \times 0 + C 3) = (V_{x} 0 V_{z})$ ,

d'où C1 = V_x, C2 = 0 et C3=V_z.

On a donc

V (t) = (V_{x} 0 - g t + V_{z})

Pour obtenir l'équation de la trajectoire, il faut intégrer la vitesse.

O M (t) = (V_{x} t + C 4 C 5 - \frac{1}{2} g t^{2} + V_{z} t + C 6)

C4, C5 et C6 sont (à nouveau) des constantes d'intégration qui seront déterminées à l'aide des conditions initiales.

A t = 0, $O M (0) = O M_{0}$

Donc $(V_{x} \times 0 + C 4 C 5 - \frac{1}{2} g \times 0^{2} + V_{z} \times 0 + C 6) = (x_{0} y_{0} z_{0}) .$
d'où $O M (t) = (V_{x} t + x_{0} y_{0} - \frac{1}{2} g t^{2} + V_{z} t + z_{0})$

Équation de la trajectoire

On peut donner l'équation sous la forme z = f(x) (z est une fonction de x ) en remplaçant t dans l'équation de z par l'expression qu'on en tire dans l'équation de x, soit $t = \frac{x - x _{0}}{V _{x}}$

On obtient donc : $z (x) = - \frac{1}{2} g (\frac{x - x _{0}}{V _{x}})^{2} + V_{z} \frac{x - x _{0}}{V _{x}} + z_{0}$

z (x) = - \frac{1}{2} \frac{g}{V _{x}^{2}} x^{2} + (\frac{V _{z}}{V _{x}} - \frac{g}{V _{x}^{2}}) x - \frac{1}{2} \frac{g}{V _{x}^{2}} x_{0}^{2} - \frac{V _{z}}{V _{x}} x_{0} + z_{0}

L'équation de ce mouvement indique bien la parabole qui donne son nom à ce mouvement. Cette équation permet aussi de retirer plusieurs informations utile comme par exemple les endroits ou le projectile touche le sol (résoudre l'équation z(x) = 0 ).

Graphique

Ici φ est l'angle que fait le vecteur vitesse initiale avec l'horizontale :
φ = Arctan(V_y/V_x)