Nombre et supernombre de Poulet

Un test de primalité courant pour un nombre impair n consiste à tester si n divise 2 - 2 : dans le cas contraire, en vertu du petit théorème de Fermat, on conclut que n n'est pas premier. Cependant il existe des nombres composés qui passent ce test avec succès : on les appelle nombres pseudopremiers en base 2, ou encore nombres de Poulet, ou, également, nombres de Sarrus.

• Un nombre composé n est donc un nombre de Poulet si n divise 2 - 2.

• Un supernombre de Poulet est un nombre dont chaque diviseur composé est un nombre de Poulet.

Un nombre composé n est donc un nombre de Poulet si tout diviseur d de n divise 2 - 2. Si un tel diviseur d est composé, d est lui-même un supernombre de Poulet.

Par exemple, 341 est un supernombre de Poulet : ses diviseurs positifs sont {1, 11, 31, 341} et on a :

Il est trivial que tous les nombres de Poulet n'ayant que deux facteurs premiers sont des supernombres de Poulet; c'est le cas de 341.

Premiers nombres et supernombres de Poulet

Les premiers nombres et supernombres de Poulet et leur décomposition sont présentés dans les tables qui suivent :

Notez que les supernombres de Poulet présentés ici sont tous des nombres de Poulet à deux facteurs premiers.

On l'a vu, les nombres de Poulet à deux facteurs premiers sont des supernombres de Poulet.

On peut également les caractériser comme suit : Soient p et q deux nombres premiers ; leur produit pq est un nombre de Poulet si, et seulement si, q divide 2 - 2 et p divise 2 - 2.

On peut construire des supernombres de Poulet à trois facteurs premiers de la façon suivante :

• si p₁ , p₂ , p₃ sont trois nombres premiers distincts tels que p₁ p₂ , p₁ p₃ , et p₂ p₃ sont des supernombres de Poulet, alors p₁ p₂ p₃ est un supernombre de Poulet.

Par exemple, il est facile de lire dans le tableau ci-dessus que les nombres premiers 37, 73 et 109 conviennent. Leur produit : 294409 = 37×73×109 est un supernombre de Poulet.

On a également la généralisation suivante :

• Si p₁ , p₂ ,..., p_n sont n nombres premiers distincts tels que tous les produits p_i p_j (avec i différent de j) sont des supernombres de Poulet, alors le produit p₁ p₂ ... p_n est un supernombre de Poulet.

Sept, huit facteurs premiers, et plus encore

Les familles de nombres premiers qui suivent permettent d'obtenir des nombres de Poulet avec jusqu'à sept facteurs premiers distints :

• 103, 307, 2143, 2857, 6529, 11119, 131071
• 709, 2833, 3541, 12037, 31153, 174877, 184081
• 1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102301 (*)
• 6421, 12841, 51361, 57781, 115561, 192601, 205441

Ces familles ci permettent d'aller jusqu'à huit facteurs premiers distincts :

• 1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102301, 316201 (*)
• 2383, 6353, 13499, 50023, 53993, 202471, 321571, 476401
• 2053, 8209, 16417, 57457, 246241, 262657, 279073, 525313
• 1801, 8101, 54001, 63901, 100801, 115201, 617401, 695701

Notez la parenté entre les deux lignes marquées (*) ci-dessus ! Cette liste de nombres premiers peut en fait être poursuivie jusqu'à vingt-deux nombres premiers disctincts :

• 1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102301, 316201, 4242661, 52597081, 364831561, 2903110321, 8973817381, 11292210661, 76712902561, 103410510721501, 29126056043168521, 3843336736934094661, 24865899693834809641, 57805828745692758010628581, 9767813704995838737083111101, 934679543354395459765322784642019625339542212601

Facteurs carrés

Il existe aussi des supernombres de Poulet qui ont des facteurs carrés : en particulier, les carrés des nombres de Wieferich. On peut définir les nombres de Wieferich comme des nombres premiers p tels que p est un supernombre de Poulet ; on n'en connait que deux, p = 1093 et p = 3511. Ainsi, 1093 , 3511 sont des supernombres de Poulet, mais aussi 1093 × 4733, et d'autres.

On connait des nombres de Poulet pairs ; le plus petit d'entre eux, 161038 = 2 × 73 × 1103, a été découvert par Derrick Lehmer en 1950.

Il est par ailleurs assez facile de démontrer qu'il n'y a pas de supernombres de Poulet pairs. En effet, un tel nombre admettrait un diviseur composé de la forme 2p avec p premier, qui serait un nombre de Poulet. Or

2 − 2 = (2 − 2)(2 + 2) + 2.

Si c'est un nombre de Poulet, il est divisible par 2p: on en déduit que

p divise (2 − 2)(2 + 1) + 1.

Or, d'après le petit théorème de Fermat, p divise (2 − 2). On a alors p divise 1, ce qui est absurde. Il n'existe donc pas de nombre de Poulet de la forme 2p avec p premier, et a fortiori pas de supernombre de Poulet pair.

Sur l'encyclopédie électronique des suites entières de Sloane on trouve :

• La suite A001567 des nombres de Poulet
• La suite A050217 des supernombres de Poulet
• La suite A006935 des nombres de Poulet pairs

Cette page (en anglais) donne beaucoup d'informations sur les nombres et supernombres de Poulet :

• Pseudoprimes (Gérard Michon)