Paradoxe de Saint-Pétersbourg

En probabilités, le paradoxe de Saint-Pétersbourg concerne une variable aléatoire dont la valeur est, très probablement, petite, mais dont l'espérance est infinie. Dans cette situation, la théorie des probabilités dicte une décision qu'aucun acteur raisonnable ne prendrait. L'apparition des fonctions d'utilité, se substituant à l'espérance mathématique de gain, a permis de résoudre ce problème. Le problème a été énoncé par Nicolas Bernoulli dans une lettre en 1713. Il a été repris et modifié par Daniel Bernoulli, son neveu, et discuté dans les Transactions de l'Académie de Saint-Petersbourg, d'où son nom.

Soit le jeu suivant : on lance en l'air une pièce de monnaie. Si face apparaît, la banque paie 2 euros au joueur, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 4 euros, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 8 euros au joueur, et ainsi de suite. Donc, si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, la banque paie 2 euros au joueur. Quelle est la mise initiale pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que ni la banque ni le joueur ne soient avantagés par ce jeu ?

Il faut donc calculer le gain moyen du joueur au cours d'une partie : ce doit-être la mise initiale pour que le jeu soit équitable. Si face intervient dès le premier lancer, on gagne 2 euros. La probabilité pour que cela arrive est ½, ce qui donne une espérance pour ce coup de 1/2× 2=1. Si face intervient pour la première fois au 2 lancer, ce qui se produit avec une probabilité de ½×½=1/4, le gain est de 4 euros, ce qui fait une espérance de gain de 1 euro pour ce coup.

Plus généralement, si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, ce qui se produit avec une probabilité de ½, le gain est de 2 euros, d'où une espérance de 1 euro pour ce coup. Maintenant, l'espérance totale s'obtient en sommant l'espérance de tous les cas possibles. On somme une infinité de termes qui valent tous 1 : la somme est bien sûr infinie. Il faudrait donc miser une infinité d'euros pour que le jeu soit équitable, ce qui est bien sûr impossible.

Pour mettre en évidence l'aspect paradoxal de ce problème, il faut considérer que, quelle que soit la mise initiale, l'espérance mathématique de gain est positive, et même infinie, pour le joueur. Pourtant, tout quidam sain d'esprit refusera de jouer à un tel jeu si la mise initiale est trop élevée. Ce comportement d'apparence irrationnelle s'appelle l'aversion au risque. Il a été formalisé par la notion de fonction d'utilité et a donné naissance à la théorie de la décision.

Une élucidation simple mais efficace de ce paradoxe consiste à faire la supposition réaliste que la banque n'est pas infiniment riche, et va donc cesser de payer au-delà d'une certaine somme.
Par exemple, si on suppose qu'elle ne dispose « que » de 4 000 000 euros soit ~ 2 euros, le jeu va cesser au 22 coup et la mise équitable sera alors de 22 euros.