Variable aléatoire

Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des éventualités, c'est-à-dire l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire.

Une variable aléatoire est souvent à valeurs réelles (gain d'un joueur dans un jeu de hasard, durée de vie) et on parle alors de variable aléatoire réelle : $X:\omega \mapsto X(\omega )\in \mathbb{R}$. La variable aléatoire peut aussi associer à chaque éventualité un vecteur de ${\mathbb{R}}^n$ ou ${\mathbb{C}}^n$, et on parle alors de vecteur aléatoire : $X:\omega \mapsto X(\omega )\in {\mathbb{R}}^n$ ou $X:\omega \mapsto X(\omega )\in {\mathbb{C}}^n$. La variable aléatoire peut encore associer à chaque éventualité une valeur qualitative (couleurs, Pile ou Face), ou même une fonction (p.e. une fonction de $C({\mathbb{R}}_{+},{\mathbb{R}}^d)$), et on parlera alors de processus stochastique.

Ce furent les jeux de hasard qui amenèrent à concevoir les variables aléatoires, en associant à une éventualité (résultat du lancer d'un dé, d'un tirage à pile ou face, d'une roulette, ...) un gain. Cette association éventualité-gain amena à concevoir une fonction de manière plus générale à partir d'une éventualité. Le développement des variables aléatoires est associé à la théorie de la mesure .

Définition —  Soient $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ un espace probabilisé et $(E,\mathcal{E})$ un espace mesurable. On appelle variable aléatoire de $\Omega$ vers $E$, toute fonction mesurable de $\Omega$ vers $E$.

Cette condition de mesurabilité de $X$ assure que l'image réciproque par $X$ de tout élément $B$ de la tribu $\mathcal{E}$ possède une probabilité et permet ainsi de définir, sur $(E,\mathcal{E})$, une mesure de probabilité, notée ${\mathbb{P}}_X$, par

La mesure ${\mathbb{P}}_X$ est l'image, par l'application , de la probabilité $\mathbb{P}$ définie sur $(\Omega ,\mathcal{F})$.

Définition —  La probabilité ${\mathbb{P}}_X$ est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire .

Dans la suite, $\mathcal{B}(E)$ désigne la tribu borélienne de l'espace topologique $E$.

• Lorsque , on dit que $X$ est une variable aléatoire réelle.
• Lorsque, pour un entier $d\ge 1$, $(E,\mathcal{E})=({\mathbb{R}}^d,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^d))$, on dit que $X$ est un vecteur aléatoire.
• Lorsqu'il existe un ensemble fini ou dénombrable $S\subset E$ tel que $\mathbb{P}(X\in S)=1$, on dit que $X$ est une variable discrète. Par exemple, le choix $(S,E)=(\mathbb{N},\mathbb{R})$ permet de voir les variables aléatoires suivant la loi de Poisson ou la loi binomiale comme des variables aléatoires réelles.
• Le mouvement brownien $B=(B(t){)}_{t\ge 0}$, qui modélise la trajectoire de certaines particules dans l'espace, peut être vu comme une variable aléatoire $B$ à valeurs dans l'espace $E=C({\mathbb{R}}_{+},{\mathbb{R}}^3)$ des fonctions continues de ${\mathbb{R}}_{+}$ dans ${\mathbb{R}}^3$ muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, et de la tribu borélienne correspondante. Pour chaque $t\ge 0$, $B(t)$, qui représente la position de la particule à l'instant $t$, est une variable aléatoire réelle dont la loi est gaussienne. Ainsi $B$ peut aussi être vu comme une famille de variables aléatoires réelles.