Sous-groupe

Un sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes.

Dans cet article, $(G,\ast )$ désigne un groupe d'élément neutre $e$.

• Soit H un sous-ensemble de G. On dit que $(H,\star )$ est un sous-groupe de $(G,\ast )$ si $(H,\star )$ est un groupe dont la loi $\star$ s'obtient par restriction de $\ast$ à $H\times H$.

• On peut aussi dire que H est un sous-groupe de G s'il existe un monomorphisme (ou un morphisme injectif) de H dans G, dans ce cas là H est rarement inclus dans G.

Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire $\ast$.

Sous-groupe propre

• Si G est un groupe alors {e} (le groupe réduit à l'élément neutre) et G sont toujours des sous-groupes de G. Ce sont les sous-groupes triviaux de G. On les appelle également les sous-groupes impropres de G.
• Soit H, un sous-groupe de G différent des sous-groupes triviaux, alors H est un sous-groupe propre de G.
• Remarque, les groupes n'ayant pas de sous-groupes propres sont les groupes de la forme $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ avec n premier ou égal à 1.

Il est facile de montrer que H est un sous-groupe du groupe G si et seulement s’il est non vide et stable pour les produits et les inverses. C'est-à-dire H induit un sous-groupe de G si et seulement s'il est non vide, inclus dans G et :

Dans le cas particulier des groupes finis, H est un sous-groupe de G si et seulement s'il est non vide et stable pour les produits. La condition de stabilité par les inverses n'est pas nécessaire, car elle découle de la stabilité pour les produits ; en effet, si l'on note n l'ordre d'un élément a de H, l'inverse de a est a, qui appartient à H.

L'élément neutre de H est le même que celui de G, et le symétrique d'un élément de H est le même que le symétrique de cet élément dans G. Pour cette raison, leur notation est la même aussi bien dans H que dans G. Par définition un sous-groupe est lui-même un groupe, c'est-à-dire qu'il possède aussi une loi de composition interne, un élément neutre (étant le même que celui du groupe) et tout élément du sous-groupe admet un symétrique appartenant lui même au sous-groupe .

Sous-groupe des entiers relatifs

• G un sous-groupe de $\mathbb{Z}$ si et seulement s'il existe un entier $n$ tel que $G$ soit égal à $n\mathbb{Z}$.

Sous-groupe d'un groupe cyclique

Soit G un groupe cyclique d'ordre pq où p et q sont deux entiers strictement positifs. Alors G a un unique sous-groupe d'ordre p. Ce sous-groupe est cyclique, engendré par g où g est n'importe quel générateur de G.

La démonstration est donnée dans Groupe cyclique.

Sous-groupe engendré par une partie

Soit $S\subset G$ une partie de G.

Il existe un plus petit sous-groupe de G contenant S, appelé sous-groupe engendré par S, et noté $⟨S⟩$.

Si G est d'ordre fini, et H un sous-groupe de G, alors le théorème de Lagrange affirme que :

[G : H] |H| = |G|

où |G| et |H| désignent les ordres respectifs de G et H. En particulier, si G est fini, alors l'ordre de tout sous-groupe de G (et l'ordre de tout élément de G) doit être un diviseur de |G|.

Corollaire

Tout groupe d'ordre premier est cyclique et isomorphe à $\frac{\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}$ où p est l'ordre du groupe.

La notion de sous-groupe est stable pour les homomorphismes de groupe. On l'exprime mathématiquement de la façon suivante :

Soit $f:G\to G^{\prime }$ un homomorphisme de groupe.

Les sous-groupes d'un groupe quelconque donné, forment un treillis complet pour l'inclusion. Il y a un sous-groupe minimal, le groupe {e} (e étant l'élément neutre de G), et un sous-groupe maximal, le groupe G lui-même. La borne inférieure de deux sous-groupes A et B est leur intersection $A\cap B$. La borne supérieure est le sous-groupe engendré par la réunion des sous-groupes, soit $⟨A,B⟩$.

Les sous-groupes distingués d'un groupe G quelconque forment également un treillis pour l'inclusion. Les éléments minimal et maximal sont respectivement {e} et G.