Synthèse miroir-dioptre-lentille

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Cet article synthétise la formule mathématique utilisable en optique géométrique et généralisant les formules obtenues pour un miroir, un dioptre et une lentille.

La formule

ƒ_o /x_o + ƒ_i /x_i = 1

est une forme de la relation de Descartes qui fonctionne pour les miroirs, dioptres et lentilles ; elle s'écrit

x_i = ƒ_i x_o /(x - ƒ_o )

ou encore

(x_i - ƒ_i )(x₀ - ƒ_o ) = ƒ_i ƒ_o

Le grandissement $γ = \frac{y _{i}}{y _{o}} = \frac{- f _{o}}{x _{o} - f _{o}} = - \frac{x _{i} - f _{i}}{f _{i}}$

ƒ_o = ƒ_i pour un miroir
ƒ_o = -ƒ_i pour une lentille
ƒ_o = -ƒ_i /n pour un dioptre

En fait, on peut appliquer la formule pour le dioptre dans tous les cas, en considérant

n = -1 pour un miroir, ƒ_o = -ƒ_i /-1 ;
n = 1 pour une lentille, ƒ_o = -ƒ_i /1 ;

C a pour coordonnées (ƒ_i + ƒ_o ,0).

Le grandissement γ vaut

γ = y_i /y_o = -ƒ_o /(x_o - ƒ_o ) = -(x_i - ƒ_i )/ƒ_i

ceci permet de constater que le lieu de l'image y_i est la droite d'équation

y =(-y_o /ƒ_i )·(x_i - ƒ_i )

qui passe par le point (ƒ_i ,0) et de pente -y_o /ƒ_i .