Théorème de Buckingham

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Introduction

En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham, ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle.

Pour références : Buckingham, E. (1914) Phys. Rev. 4, 345-376. Et une généralisation de ce théorème dans le cas de classes de problèmes où certaines variables sont fixes : (lien)

Énoncé

Une équation physique complète, de la forme générale…

f (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}) = 0

où les q_i représentent n variables physiques choisies pour la description du problème, exprimées en terme de k unités physiques indépendantes, peut être réecrite sous la forme:

F (π_{1}, π_{2}, \dots, π_{p}) = 0

où les π_i sont des nombres sans dimension construits à partir des q_i par p = n − k équations de la forme:

π_{i} = q_{1}^{m_{1}}, q_{2}^{m_{2}} \dots q_{n}^{m_{n}}

où les m_i sont des constantes.

Démonstration de la 3ème loi de Kepler

Le théorème de Buckingham suppose grossièrement que toutes les lois de la physique restent valables quelle que soit l'échelle utilisée, c'est-à-dire en particulier même après un étirement des longueurs et du temps.

Supposons donc que l'on étire les longueurs (notées r) de α et le temps (noté t) de β. On pose alors

$r^{'} = α r$ et $t^{'} = β t$ .

Soient une particule fixe de masse M et une particule mobile de masse m (m < < M) soumise uniquement à la force gravitationnelle de la particule de masse M. En écrivant le principe fondamental de la dynamique selon un axe reliant le centre des deux particules, on a:

m \frac{d ^{2} r}{d t ^{2}} = \frac{GM m}{r ^{2}}

D'après le théorème de Buckingham, on devrait avoir également

m \frac{d ^{2} r ^{'}}{d t ^{'2}} = \frac{GM m}{r ^{'2}}

Soit en remplaçant:

m \frac{d ^{2} α r}{d β ^{2} t ^{2}} = \frac{GM m}{α ^{2} r ^{2}}

Soit nécessairement :

\frac{β ^{2}}{α ^{3}} = c t e

pour obtenir l'équation initiale.

On retrouve alors bien la troisième loi de Kepler (β étant associé au temps et α aux longueurs).