Théorème de Hille-Yosida

En théorie des semi-groupes, le théorème de Hille-Yosida est un outil puissant et fondamental reliant les propriétés de dissipation de l'énergie d'un opérateur non borné $A:D(A)\subset X⟶X$ à l'existence-unicité et la régularité des solutions d'une équation différentielle (E) $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=Ax(t)\\ x(0)=x_0\end{array}$.

La théorie des semi-groupes doit son origine à l'étude du flot d'une équation différentielle ordinaire autonome en dimension finie ainsi que de l'exponentielle d'opérateurs.

Définitions

• Soit X un espace de Banach; on dit que la famille d'opérateurs linéaires ${\left(S(t)\right)}_{t\ge 0}$ est un semi-groupe (fortement continu) si :

(i) $\forall t\ge 0,S(t)\in \mathcal{L}(X)$

(i**i) $S(0)=I{d}_{\mathcal{L}(X)}$

(iii) $\forall (s,t)\ge 0,S(s+t)=S(s)\circ S(t)$

(i**v) $\forall x\in X,{\lim }_{t\to 0^{+}}S(t)x=x$

La condition (i**v) est équivalente à ce que $\forall x\in X,t\mapsto S(t)x\in {\mathcal{C}}^0({\mathbb{R}}^{+},X)$. Si on remplace (i**v) par (i**v) : ${\lim }_{t\to 0^{+}}||S(t)-Id|{|}_{\mathcal{L}(X)}=0$ on dit que ${\left(S(t)\right)}_{t\ge 0}$ est uniformément continu.

On retrouve (vaguement) avec cette définition la notion de famille à un paramètre de difféomorphismes bien connue en théorie des EDO.

• On définit le générateur infinitésimal (A,D(A)) d'un un semi-groupe fortement continu ${\left(S(t)\right)}_{t\ge 0}$ comme l'opérateur non borné $A:D(A)\subset X⟶X$ où:

Dans le cas où D(A) = X et $A\in \mathcal{L}(X)$ la famille d'opérateurs ${\left(e^{tA}\right)}_{t\ge 0}$ (définie classiquement par sa série) est un semi-groupe fortement continu de générateur infinitésimal A: c'est pourquoi on note parfois abusivement S(t) = e.

• On dit que le semi-groupe ${\left(S(t)\right)}_{t\ge 0}$ est de contraction si $\forall t\ge 0,||S(t)|{|}_{\mathcal{L}(X)}\le 1$.

Propriétés des semi-groupes de contraction

• Théorème 1: soit X un espace de Banach, ${\left(S(t)\right)}_{t\ge 0}$ un semi-groupe de contraction sur X et (A,D(A)) son générateur infinitésimal. Alors:

(i) $\forall x\in X$ le flot $t\mapsto S(t)x\in {\mathcal{C}}^0({\mathbb{R}}^{+},X)$

(i**i) $\forall x\in X$ et $\forall t\ge 0$ $S(t)x\in D(A)$, le flot $t\mapsto S(t)x\in {\mathcal{C}}^1({\mathbb{R}}^{+},X)$ et vérifie x'(t) = A**x(t)

(iii) (A,D(A)) est fermé de domaine dense.

• Théorème 2 (caractérisation des générateurs infinitésimaux): soit $A:D(A)\subset X⟶X$ un opérateur non borné sur X. On a l'équivalence:

(i) (A,D(A)) est le générateur infinitésimal d'un semi-groupe de contraction

(i**i) D(A) est dense et pour toute condition initiale $x_0\in D(A)$ il existe une unique solution $t\mapsto x(t)\in {\mathcal{C}}^1({\mathbb{R}}^{+},X)$ de (E).

De plus sous cette hypothèse la solution x(t) est à valeurs dans D(A) et vérifie $||x(t)|{|}_X\le ||x_0|{|}_X$ ainsi que $||x^{\prime }(t)|{|}_X\le ||Ax(t)|{|}_X\le ||A{x}_0|{|}_X$ (inégalités d'énergie).

On commence à voir apparaître le lien entre le problème (E) et la notion de semi-groupe. Pour préciser, il faut maintenant introduire la notion d'opérateur dissipatif.

Définitions

• Un opérateur (A,D(A)) est dissipatif si $\forall x\in D(A)\text{ et }\forall \lambda >0,||x-\lambda Ax||\ge ||x||$. Dans le cas où X = H est hilbertien on montre que A est dissipatif si et seulement si $\forall x\in D(A)\mathfrak{Re}(<Ax,x{>}_H)\le 0$.

Remarque: Si (A,D(A)) est un opérateur dissipatif alors $\forall \lambda >0$ l'opérateur (I**d − λA) est injectif car $(I-\lambda A)x=0\Rightarrow 0\le ||x||\le ||(I-\lambda A)x||=0\Rightarrow x=0$.

• Si de plus $\forall \lambda >0,Id-\lambda A$ est surjectif on dit que (A,D(A)) est maximal-dissipatif (ou m-dissipatif). On peut montrer que
  $$\forall \lambda >0,Id-\lambda A\text{surjectif}\iff \exists {\lambda }_{0}tqId-{\lambda }_{0}A\text{surjectif}$$
  . En pratique pour montrer qu'un opérateur est m-dissipatif on montre d'abord à la main qu'il est dissipatif et on résout ensuite un problème variationnel pour une valeur λ₀ bien choisie (par exemple avec le théorème de Lax-Milgram, voir exemple de l'équation de la chaleur traité plus bas).

Dans ce cas l'opérateur (I**d − λA) est un isomorphisme (a priori non continu) de L(A,X) et on note J_λ = (I**d − λA) . De plus, comme $||J_{\lambda }y||X\le ||(Id-\lambda A)[J\lambda y]|{|}_X\le ||y|{|}_X$, $J_{\lambda }\in \mathcal{L}\left((X,||.|{|}_X),(D(A),||.|{|}_X)\right)$. Nous allons voir que cette propriété de continuité peut être améliorée (on va rendre moins fine la topologie sur (D(A), | | . | | _X) en munissant D(A) d'une norme | | . | | _D(A)).

Propriétés des opérateurs m-dissipatifs

Prop 1: si (A,D(A)) est m-dissipatif alors c'est un opérateur fermé.

Corollaire 1: pour $x\in D(A)$ on pose | | x | | _D(A) = | | x | | _X + | | A**x | | _X. Alors | | . | | _D(A) est une norme pour laquelle D(A) est un espace de Banach et $A\in \mathcal{L}\left((D(A),||.|{|}_A),(X,||.|{|}_X)\right)$.

Prop 2: si H est un espace Hilbertien et $A:D(A)\subset H⟶H$ est m-dissipatif alors il est à domaine dense.

Prop 3: réciproquement si $A:D(A)\subset H⟶H$ est de domaine dense, dissipatif, fermé et tel que son adjoint (A ,D(A )) est dissipatif alors (A,D(A)) est m-dissipatif.

Corollaire 3: toujours dans le cadre hilbertien

(i) si (A,D(A)) est dissipatif autoadjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif

(i**i) si (A,D(A)) est anti-adjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif

Remarque: dans (i**i) la condition de dissipativité n'est pas nécessaire car (A,D(A)) anti-adjoint entraîne que < A**x,x > _H = 0 donc la dissipativité, voir l'exemple de l'équation des ondes plus bas.

Enoncé

• Théorème 3 (Hille-Yosida): soit X un espace de Banach et $A:D(A)\subset X⟶X$ un opérateur non borné. On a l'équivalence

(i) (A,D(A)) est m-dissipatif à domaine dense

(i**i) (A,D(A)) est le générateur infinitésimal d'un semi-groupe de contraction

Le point (i) du théorème précédent peut être réécrit en termes de résolvante : (i') (A,D(A)), opérateur fermé à domaine dense, vérifie $(0,+\infty )\subset \rho (A)$ et $\forall \lambda >0|R_{\lambda }|\le \frac{1}{\lambda }$.

Ainsi sous ces hypothèses et d'après le théorème 2 pour toute condition initiale $x_0\in D(A)$ il existe une unique solution forte $t\mapsto x(t)$ dans ${\mathcal{C}}^0({\mathbb{R}}^{+},(D(A),||.|{|}_{D(A)}))\bigcap {\mathcal{C}}^1({\mathbb{R}}^{+\ast },(X,||.|{|}_X))$. Lorsque la condition initiale est prise quelconque dans X on a une solution faible $t\mapsto x(t)=S(t)x$ de classe seulement ${\mathcal{C}}^0({\mathbb{R}}^{+},(X,||.|{|}_X))$ ( et on montre que toute solution faible est limite dans X de solutions fortes).

Régularité des solutions

On constate que la régularité de la solution est étroitement liée au choix de la condition initiale en fonction du domaine de A: il est donc naturel de penser qu'en imposant plus de "régularité" à x₀ on obtienne plus de régularité sur les solutions. Plus précisément on pose pour $k\ge 2$ $D(A^k)=\{x\in D(A^{k-1}),Ax\in D(A^{k-1})\}$. Alors on a le

Théorème 4: on peut munir les D(A) des normes $||x||D(A^k)=\sum {i=0}^k||A^{i}x||$ pour lesquels ce sont des espaces de Banach. De plus si la condition initiale $x_0\in D(A^k)$ alors la solution est de classe ${\mathcal{C}}^k({\mathbb{R}}^{+\ast },X)$ et ${\mathcal{C}}^{k-i}({\mathbb{R}}^{+\ast },D(A^i))$ pour i = 1...k et au sens des topologies précédentes.

L'équation de la chaleur

On se donne Ω un ouvert borné de classe ${\mathcal{C}}^2$ de ${\mathbb{R}}^n$ et on cherche à résoudre l'équation de la chaleur $\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}u(x,t)-△u(x,t)=0\\ u(x,0)=u_0(x)\end{array}$ sur $(x,t)\in \Omega \times [0,+\infty ]$ pour une condition initiale donnée. On peut réécrire cette EDP sous la forme d'une EDO y'(t) = A**y(t) en posant X = H = L(Ω), $y(t)=u(.,t)\in H$ et en définissant (A,D(A)) par $D(A)=H^2(\Omega )\bigcap H_0^1(\Omega )\subset L^2(\Omega )$ et $Ax=△x$ pour tout $x\in D(A)$. Nous sommes dans le bon cadre pour utiliser la théorie des semi-groupes et le théorème de Hille-Yosida; reste à montrer que l'opérateur A est m-dissipatif. Il est bien connu que le laplacien est un opérateur autoadjoint (on a $<Au,v>H=\int \Omega (△u)v=-{\int }_{\Omega }\nabla u.\nabla v={\int }_{\Omega }u(△v)=<u,Av{>}_H$ par double intégration par parties) et que D(A) est dense dans L(Ω), il suffit donc de montrer qu'il est dissipatif ou de façon équivalente que $\mathfrak{Re}(<Ax,x{>}_H)\le 0$. Or tout $x\in D(A)=H^2(\Omega )\bigcap H_0^1(\Omega )$ est de trace nulle, donc en intégrant par parties $\mathfrak{Re}(<Ax,x>H)=-\int \Omega ||\nabla x|{|}_{{\mathbb{R}}^n}^2\le 0$. Le corollaire 3 et le théorème de Hille-Yosida permettent enfin de conclure quant à l'existence-unicité et la régularité des solutions. Remarquer que $\frac{d}{dt}\left(||y(t)|{|}_H^2\right)=2<y^{\prime }(t),y(t){>}_H=2<Ay(t),y(t){>}_H\le 0$: on retrouve bien sur le côté dissipatif et irréversible de l'équation de la chaleur.

L'équation des ondes

L'équation des ondes homogène se formule dans un domaine Ω suffisamment régulier (c'est-à-dire ${\mathcal{C}}^2$ en pratique) et sur un intervalle de temps [0,T) (avec T > 0) selon

On se place dans la théorie des semi-groupes en mettant l'équation précédente au premier ordre en temps. On pose alors $\mathcal{A}=\left(\begin{array}{ccc}0& I\Delta & 0\end{array}\right)$, $\mathcal{Y}=\left(\begin{array}{c}uv\end{array}\right)$ (avec v = u' ) et ${\mathcal{Y}}_0=\left(\begin{array}{c}fg\end{array}\right)$ l'équation devient alors $\{\begin{array}{rcllc}{\mathcal{Y}}^{\prime }(t)& =& \mathcal{A}\mathcal{Y}(t)\mathcal{Y}(0)& =& {\mathcal{Y}}_0\end{array}$.

Le domaine du Laplacien étant $D(\Delta )=H^2(\Omega )\cap H_0^1(\Omega )$, celui de $\mathcal{A}$ est $D(\mathcal{A})=H^2(\Omega )\cap H_0^1(\Omega )\times H_0^1(\Omega )$ sur $H=H_0^1(\Omega )\times L^2(\Omega )$. Les conditions initiales seront alors prises dans H. Le produit scalaire dans H est défini pour tout couple (u,v) dans H (u = (u₁,u₂) et v = (v₁,v₂)) par $(u,v)H=(\nabla u_1,\nabla v_1)L^2(\Omega )+(u_2,v_2{)}_{L^2(\Omega )}.$

Reste à vérifier que nous sommes bien dans les conditions d'application du théorème de Hille-Yosida :

1. $D(\mathcal{A})$ est dense dans H.
2. $\mathcal{A}$ est fermé.
3. $\mathcal{A}$ est dissipatif. Ce point mérite une preuve.

Preuve 1. On utilise la caractérisation (i') du théorème. Soient λ > 0 et $(f,g)\in H$. L'équation résolvante s'écrit en (u,v)

$(\ast )\{\begin{array}{rclcc}\lambda u-v& =& f\lambda v-\Delta u& =& g\end{array}$ d'où (λI − Δ)u = λf + g qui admet une unique solution dans $u\in H_0^1(\Omega )$ via Lax-Milgram (car d'une part λ > 0 et d'autre part les valeurs propres du Laplacien sont strictement négatives donc (λI − Δ) est un opérateur elliptique dont la forme bilinéaire associée vérifie les hypothèses du théorème de Lax-Milgram). Et alors v = λu − f est dans $H_0^1(\Omega )$.

L'estimation de l'opérateur résolvant R_λ vient du produit scalaire de ( * )₂ par v en remplaçant u par sa valeur dans ( * )₁:

D'où, puisque (u,v) = R_λ(f,g), on obtient l'estimation attendue $|R_{\lambda }|\le \frac{1}{\lambda }$. Le semi-groupe engendré par $\mathcal{A}$ est donc un semi-groupe de contraction.

Preuve 2. On peut utiliser le Corollaire 3 pour montrer que $\mathcal{A}$ est m-dissipatif en montrant que $\mathcal{A}$ est anti-adjoint. On a alors pour tout couple (u,v) dans $D(\mathcal{A})$

Ainsi, $\mathcal{A}$ est anti-adjoint et à domaine dense donc m-dissipatif.