Théorème du rang

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Introduction

En mathématiques, le théorème du rang de l'algèbre linéaire, lie le rang et la dimension du noyau d'une application linéaire. Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K et soit $f \in L (E, F)$ une application linéaire. Alors

$r g f + d im K er f = d im E$ ,

où rgf désigne la dimension de l'image de f.

Pour démontrer le théorème, on vérifie que pour toute base $(u_{s})_{s \in S}$ du noyau et toute base $(f (v_{t}))_{t \in T}$ de l'image, $(u_{s}) s \in S \cup (v_{t}) t \in T$ est une base de E. En effet, cette famille est génératrice (pour tout vecteur x, en notant x_t les coordonnées de f(x) dans la base de l'image et x_s celles de $x - \sum x_{t} v_{t}$ dans la base du noyau on obtient $x = \sum x_{s} u_{s} + \sum x_{t} v_{t}$ ) et libre (sous l'hypothèse $\sum a_{s} u_{s} + \sum b_{t} v_{t} = 0$ , on obtient, en prenant l'image par f, $0 + \sum b_{t} f (v_{t}) = 0$ , donc par indépendance des f(v_t) les b_t sont nuls, si bien que l'hypothèse de départ se simplifie en $\sum a_{s} u_{s} = 0$ , dont on déduit, par indépendance des u_s, que les a_s sont nuls aussi).

Cas particulier des endomorphismes

Soit f une application linéaire d'un espace vectoriel E dans lui-même. On a la relation:

$d im I m f + d im K er f = r g (f) + d im K er f = dim E$ .

Cas des matrices

Le théorème du rang peut s'écrire pour les matrices. Si A est une matrice (m,n) sur un corps $K$ , alors

rgA + dim(KerU) = n

où U est l'application linéaire de $K^{n} \to K^{m}$ canoniquement associée à la matrice A.

Certains définissent le noyau d'une matrice de la manière suivante :

$ker A := {X \in M_{n, 1} (K) ∣ A X = 0}$ ,

qui est un sous-espace vectoriel de $M_{n, 1} (K)$ de même dimension que KerU.

Le théorème du rang s'écrit alors

rgA + dim(KerA) = n.

Autres formulations et généralisations

Ce théorème est une forme du premier théorème d'isomorphisme de l'algèbre dans le cas des espaces vectoriels.

Dans un langage plus moderne, le théorème peut être énoncé de la manière suivante : si

0 \to D \to E \to F \to 0

est une suite exacte courte d'espaces vectoriels, alors

dim(D) + dim(F) = dim(E)

Ici F joue le rôle de Imf et D celui de Kerf.

En dimension finie, cette formulation peut être généralisée : si

0 \to E_{1} \to E_{2} \to \dots \to E_{r} \to 0

est une suite exacte d'espaces vectoriels de dimension finie, alors

i = 1 \sum r (- 1)^{i} dim (E_{i}) = 0.

Le théorème du rang pour des espaces vectoriels de dimension finie peut aussi être formulé en termes d'indice d'application linéaire. L'indice d'une application linéaire $f : E \to F$ , où E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie, est défini par

indicef = dim(Kerf) − dim(Cokerf) où Coker désigne le conoyau de f.

Intuitivement, Kerf est le nombre de solutions indépendantes x de l'équation f(x) = 0, et dim(Cokerf) est le nombre de restrictions indépendantes qui doivent être mises à la place de y pour rendre l'équation f(x) = y résoluble. Le théorème du rang pour des espaces vectoriels de dimension finie est équivalent à la proposition

indicef = dim(E) − dim(F)

Nous voyons que nous pouvons facilement déterminer l'indice d'une application linéaire f à partir des espaces impliqués, sans nul besoin d'étudier f en détail. Cela se remarque également dans un résultat beaucoup plus profond : le théorème de l'indice d'Atiyah-Singer qui affirme que l'indice de certains opérateurs différentiels peut être obtenu à partir de la géométrie des espaces impliqués.