Espace vectoriel

En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.

Étant donné un corps (commutatif) K, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) munie d'une action compatible de K (voir la définition exacte). Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires.

Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.

Espace vectoriel

Soit K un corps commutatif. La définition des espaces vectoriels repose sur la structure de corps mais le lecteur peut lire K comme le corps des réels ou celui des complexes. Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel, est un ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs, muni de deux lois :

• Une loi interne « + » $E^2\to E$, appelée addition ou somme vectorielle,
• Une loi de composition externe à gauche « • » $K\times E\to E$, appelée multiplication par un scalaire,

ces deux lois étant assujetties aux relations suivantes.

1. La loi « + » est associative. Elle admet un élément neutre, pouvant être noté 0 ou 0_E, appelé vecteur nul. Tout vecteur v a un opposé, noté -v. Autrement dit, (E,+) est un groupe, pour tous vecteurs u, v et w de E :

2. La loi « • » est distributive à gauche par rapport à la loi « + » de E, distributive à droite par rapport à l'addition du corps K, et associative à droite par rapport à la multiplication dans K. Enfin, l'élément neutre multiplicatif du corps K, noté 1, est neutre à gauche pour la loi externe « • », c'est-à-dire que l'on a les identités suivantes pour tous vecteurs u, v de E, et pour tous scalaires λ, μ :

De l'axiome 1, il découle que E est nécessairement non vide. L'axiome 2 implique que l'élément neutre additif « 0_K » du corps K, qui est absorbant sur K, est donc « absorbant » à gauche pour la loi • (le produit par un vecteur quelconque vaut 0_E). On en déduit aussi que 0_E est absorbant à droite pour la loi •. On peut également démontrer aisément que la loi + est commutative, ce qui fait de (E,+) un groupe abélien. Enfin, -v, l'opposé de v est le produit de v par le scalaire -1, ce qui résulte encore de l'axiome 2. On a donc pour tout vecteurs u de E, et tout scalaire λ :

Si $K=\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, on parle respectivement d'espace vectoriel rationnel, réel ou complexe. Les vecteurs (éléments de E) ont été ici écrits avec des lettres latines italiques, mais certains auteurs les notent par des lettres en gras, ou les surmontent d'une flèche.

Combinaison linéaire

Les deux opérations sur un espace vectoriel permettent de définir la combinaison linéaire, c'est-à-dire la somme finie de vecteurs affectés de coefficients (scalaires). La combinaison linéaire d'une famille de vecteurs $(x_i{)}_{i\in I}$ ayant pour coefficients $({\lambda }_i{)}_{i\in I}$ est le vecteur de E donné par :

${\sum }_{i\in I}{\lambda }_i{x}_i$.

Lorsque l'ensemble d'indexation $I$ est infini, il est nécessaire de supposer que le support de la famille $({\lambda }_i{)}_{i\in I}$ soit fini. Rappelons que le support est l'ensemble des indices i pour lesquels λ_i est non nul. L'intérêt de la structure d'espace vectoriel réside en la possibilité d'effectuer des combinaisons linéaires.

Sous-espace vectoriel

Un sous-espace vectoriel de E est une partie non vide F de E stable par addition vectorielle et multiplication par un scalaire, ou de manière équivalente, stable par combinaisons linéaires. Une partie F est un sous-espace vectoriel ssi elle vérifie les deux propriétés suivantes :

• F est un sous-groupe additif de (E,0,+), ie F contient 0, la somme de deux éléments de F est un élément de F, et l'inverse d'un élément de F pour la loi additive est un élément de F ;
• Le produit d'un scalaire par un vecteur de F appartient à F.

Muni des lois induites, F est alors un espace vectoriel. L'intersection d'une famille quelconque (finie ou infinie) de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel mais l'union, même finie, n'en est pas un en général. La somme de deux sous-espaces vectoriels F et G est la partie

$F+G=\left\{x+y/(x,y)\in F\times G\right\}$,

qui est toujours un sous-espace vectoriel de E. C'est le plus petit sous-espace vectoriel (au sens de l'inclusion) de E contenant F et G. Cette construction se généralise à une famille quelconque de sous-espaces vectoriels.

Deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont dits en somme directe lorsque leur intersection est l'espace nul. Leur somme est alors notée $F\oplus G$. Les sous-espaces vectoriels F et G sont dits supplémentaires (l'un de l'autre) dans E s'ils sont en somme directe et que $F\oplus G=E$. L'axiome du choix permet d'assurer l'existence d'un supplémentaire à tout sous-espace vectoriel, mais il n'y a jamais unicité (sauf dans le cas du sous-espace nul ou de l'espace total). Si E est la somme directe de F et G, tout vecteur de E se décompose alors de manière unique en une somme de deux vecteurs, l'un appartenant à F et l'autre à G. Plus généralement, une famille de sous-espaces vectoriels (F_i) est dite en somme directe dans E si tout vecteur de E s'écrit de manière unique comme une somme $\sum x_i$ avec pour tout i, $x_i\in F_i$. Cette définition implique que les sous-espaces vectoriels F_i soient d'intersection nulle deux à deux et que leur somme soit égale à E mais la réciproque est fausse.

Translations

Sans disposer d'une définition des espaces vectoriels, une approche possible de la géométrie plane se fonde sur l'étude d'un plan affine de Desargues P. Il comporte des points et des droites, avec une relation d'appartenance appelée incidence, dont les propriétés donnent un sens à l'alignement des points et au parallélisme des droites. On appelle homothétie-translation toute transformation de P préservant l'alignement et envoyant toute droite sur une droite parallèle. Hormis l'identité (considérée à la fois comme une homothétie et une translation), une telle transformation fixe au plus un point ; elle est appelée homothétie si elle fixe un point O, qui est alors son centre ; elle est appelée une translation sinon. L'ensemble des homothéties de centre fixé O forment un groupe commutatif pour la loi de composition, indépendant de O à isomorphisme près, noté K. Il est possible d'adjoindre un élément 0 pour former un corps K, dont la loi d'addition est encore définie à partir de P. Tout scalaire non nul λ correspond à une unique homothétie de centre O, et on dit que λ est son rapport. L'ensemble des translations de P forme un K-espace vectoriel, ses lois étant les suivantes :

• La somme vectorielle de deux translations t et t' est leur composée $t\circ t^{\prime }=t^{\prime }\circ t$ qui est une translation ;
• La multiplication d'une translation t par un scalaire non nul λ de K est la conjugaison de t par une homothétie h de centre quelconque et de rapport λ, autrement dit la transformation hth , qui est une translation.

Le vecteur nul est l'identité. L'opposé d'un vecteur représenté par une translation t est le vecteur défini par t.

Une présentation détaillée est donnée dans plan affine de Desargues. Ces considérations permettent de faire le lien entre une approche moderne de la géométrie fondée sur l'algèbre linéaire, et une approche axiomatique.

Produits et sommes directes

Soit une famille (E_i) de K-espaces vectoriels indexée par l'ensemble I. Les familles (v_i) de vecteurs v_i appartenant respectivement à E_i forment un ensemble, noté $\prod E_i$. Les lois suivantes en font un K-espace vectoriel, appelé produit $\prod$E_i de la famille (E_i) :

• Somme vectorielle : La somme de (v_i) et (w_i) est la famille (v_i+w_i) ;
• Produit par un scalaire : Le produit de (v_i) par λ est (λv_i).

Le vecteur nul est la famille (0)_i formée par les vecteurs nuls des espaces E_i. Cette construction est valable que I soit un ensemble fini ou non. Une famille (v_i) dans $\prod E_i$ est à support fini s'il y a un nombre au plus fini d'indices i pour lesquels v_i est non nul. Les familles à support fini forment un sous-espace vectoriel de $\prod E_i$, appelé la somme directe des espaces E_i et qui se note $⨁E_i$.

Tout corps K se présente comme un K-espace vectoriel. L'addition et la multiplication de K fournissent respectivement l'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire. En prenant la famille E_i=K, on forme son produit K et sa somme K respectivement, tous deux étant des K-espaces vectoriels. K est l'espace des fonctions de I dans K. L'intérêt des espaces K reposent sur les propriétés suivantes :

• Pour tous ensembles A et B, les K-espaces vectoriels K et K sont isomorphes ssi A et B sont en bijection.
• Tout K-espace vectoriel E est isomorphe à K pour un ensemble A. Le cardinal de A s'appelle la dimension de E.

Par exemple, pour I=$\varnothing$, K est l'espace nul, un espace vectoriel qui ne contient qu'un seul vecteur, le vecteur nul. Un ensemble fini I={1,...,n} permet de former l'espace vectoriel K des n-uplets d'éléments de K, l'addition se fait terme à terme et la multiplication par un scalaire est distribuée sur chaque terme. Autre exemple, K est l'espace des suites dans K, et K le sous-espace des suites à support fini. Lorsque I est le produit cartésien $[[1;n]]\times [[1;p]]$, alors le produit K est noté ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$, qui est l'espace des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K.

Autres exemples

Voici quelques exemples d'espaces vectoriels qui servent entre autres en analyse ou en géométrie :

• L'espace nul est l'espace vectoriel sur un corps K comportant un unique élément, qui est nécessairement le vecteur nul. L'espace nul est l'objet initial et l'objet final de la catégorie des espaces vectoriels sur K.
• Toute extension de corps de K, c'est-à-dire tout plongement de K dans un corps L, munit L d'une structure d'espace vectoriel sur K.
• L'ensemble ${\mathcal{C}}^0(X)$ des fonctions continues réelles ou complexes définies sur espace topologique X est un espace vectoriel (réel ou complexe).
• L'ensemble des (germes de) solutions d'une équation différentielle linéaire homogène est un espace vectoriel (réel ou complexe).
• L'ensemble des suites numériques satisfaisant une relation de récurrence linéaire est un espace vectoriel.

Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K. Une application f de E vers F est dite linéaire si elle est additive et commute à la multiplication par les scalaires :

$\forall (x,y)\in E^2,f(x+y)=f(x)+f(y)$,

$\forall \lambda \in \mathbf{K},f(\lambda x)=\lambda f(x)$.

Autrement dit, f préserve les combinaisons linéaires, c'est-à-dire : pour toute famille finie $(v_i{)}_{i\in I}$ de vecteurs et pour toute famille $({\lambda }_i{)}_{i\in I}$ de scalaires,

$f\left({\sum }_{i\in I}{\lambda }_i{v}_i\right)={\sum }_{i\in I}{\lambda }_{i}f(v_i)$.

L'ensemble des applications linéaires de E dans F est noté $\mathcal{L}(E,F)$ dans cet article. Il peut aussi être noté Hom(E,F) ou encore $Ho{m}_{\mathbf{K}}(E,F)$. La somme de deux applications linéaires, ou la multiplication d'une application linéaire par un scalaire, est encore une application linéaire. Donc, $\mathcal{L}(E,F)$ est un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions de E dans F. La composée d'applications linéaires de E dans F et de F dans G est une application linéaire de E dans G. Lorsque $F=E$, ces applications sont appelées endomorphismes de E et on note leur ensemble L(E). Un isomorphisme d'espaces vectoriels est une application linéaire bijective. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. L'ensemble des automorphismes de E est le groupe linéaire noté $GL(E)$.

L'application naturelle de ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbf{K})$ dans $\mathcal{L}({\mathbf{K}}^n,{\mathbf{K}}^m)$, qui à toute matrice A associe l'application linéaire $X\mapsto AX$, est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Noyau et image

Pour toute application linéaire f de E dans F,

• Les vecteurs x de E tels que f(x)=0 forment un sous-espace vectoriel de E, appelé noyau de f et noté $\mathrm{K}er(f)$. Plus généralement, la préimage de tout sous-espace vectoriel de F par f est un sous-espace vectoriel de E.
• Les vecteurs f(x) pour x dans E forment un sous-espace vectoriel de F, appelé image de f et noté $\mathrm{I}m(f)$. Plus généralement, l'image par f de tout sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F. Le quotient F/Im(f) s'appelle le conoyau de f.

Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est l'espace nul. Si E et F sont de dimension finie, on a les résultats suivants: Une application linéaire est dite surjective si et seulement si la dimension de son image est égale à la dimension de F (i. e., F= $\mathrm{I}m(f)$ ). De plus, si E et F sont isomorphes, i. e., ils ont la même dimension, alors f est un isomorphisme, ce qui est équivalent à dire que f est surjective, ce qui est équivalent à dire que f est injective. Cette équivalence triple est facilement vue par le Théorème du Rang:

$\dim (E)=\dim \mathrm{K}er(f)$ + $\dim \mathrm{I}m(f)$.

Le nom de ce théorème est né du fait que la dimension de l'image de f est aussi appelée de Rang(f)

La preuve de ce théorème ce fait en appliquant le théorème du ballon à une base du noyau de f (disons de dimension n) de façon à obtenir une base de E (de dimension n+m) et ainsi étant suffisant de montrer que la liste formée par l'application de f aux m vecteurs ajoutés à la base du noyau de f est linéairement indépendant et est une liste génératrice de l'image de f, étant ainsi une base de celle-ci.

Le graphe de f est l'ensemble des couples (x,f(x)) où x parcourt E. C'est un sous-espace vectoriel G de $E\oplus F$, dont l'intersection avec $E\oplus 0$ est Ker(f).

Forme linéaire

Une forme linéaire ou covecteur sur un K-espace vectoriel E est une application linéaire de E dans le corps K vu comme espace vectoriel. Les formes linéaires sur E forment un K-espace vectoriel appelé l'espace dual de E et noté E. Le noyau d'une forme linéaire est appelé hyperplan.

Sur l'espace vectoriel E des applications continues de [0,1] dans R, l'intégrale de Riemann $f\mapsto {\int }_0^{1}f$ est une forme linéaire.

Espace vectoriel quotient

Soit F un sous-espace vectoriel de E. L'espace quotient E/F (c'est-à-dire l'ensemble des classes d'équivalence de E pour la relation « u~v si et seulement si  u-v appartient à F», muni des opérations définies naturellement sur les classes) est un espace vectoriel tel que la projection $E\to E/F$ (qui associe à u sa classe d'équivalence) soit linéaire de noyau F.
Un sous-espace vectoriel G de E est un supplémentaire de F si et seulement si la restriction de la projection induit un isomorphisme de G sur E/F.

Indépendance linéaire

Une famille $(v_i{)}_{i\in I}$ de vecteurs de E est dite libre (sur $\mathbb{K}$) ou encore les vecteurs de cette famille sont dits linéairement indépendants, si toute combinaison linéaire d'éléments de cette famille à coefficients non tous nuls est non nulle. Cette condition équivaut à ce que la seule combinaison linéaire nulle d'éléments de $(v_i{)}_{i\in I}$ est celle dont tous les coefficients sont nuls. Dans le cas contraire, la famille est dite liée et les vecteurs la constituant sont dits linéairement dépendants. Comme une combinaison linéaire porte sur un nombre fini de termes, une famille infinie est libre si toute sous-famille finie est libre

La famille vide est linéairement indépendante. Un couple (u₁, u₂) de vecteurs est liée ss'il existe un scalaire $\alpha$ tel que $u_2=\alpha u_1$ ou un scalaire $\beta$ tel que $u_1=\beta u_2$. Sous cette condition, les deux vecteurs u₁ et u₂ sont dits colinéaires. Si (u,v) est un couple de vecteurs libre, alors (u,v), (u+v,v) et (u,u+v) sont des couples de vecteurs non colinéaires, mais la famille (u,v,u+v) n'est pas libre pour autant.

Sous-espace vectoriel engendré

Le sous-espace vectoriel engendré par une famille $(v_i{)}_{i\in I}$, noté Span(v_i), est le plus petit sous-espace contenant tous les vecteurs de cette famille. De manière équivalente, c'est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs v_i. La famille engendre E, ou encore est génératrice, si E est le sous-espace vectoriel engendré.

Une base de E est une famille libre maximale ou, et c'est équivalent, une famille génératrice minimale. L'existence d'une base pour tout K-espace vectoriel E se déduit du théorème de la base incomplète et est équivalente à l'axiome du choix. Néanmoins, il existe des preuves spécifiques à la dimension finie. Une famille $\mathcal{B}$ d'éléments de E est une base si et seulement si tout élément u de E s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de $\mathcal{B}$.

Définition de la dimension

Etant donné un espace vectoriel E sur un corps K, toutes les bases de E ont le même cardinal, appelé dimension de E. Si E admet une famille génératrice finie, alors la dimension est finie, et toutes les bases de E admettent le même nombre d de vecteurs, où d est la dimension de E.

• Le corps K est de dimension 1, une base étant donnée par l'unité 1_K. Tout espace vectoriel de dimension 1 est appelé droite vectorielle. Tout espace de dimension 2 est appelé plan vectoriel.
• A isomorphisme près, les espaces vectoriels sur K sont classifiés par leurs dimensions, ce qui rend cette notion fondamentale. La dimension de K est le cardinal de A. En particulier, la dimension de K est n.
• En dimension finie, étant donnée une application linéaire f de E dans F, le théorème du rang permet de relier la dimension de l'image f(E) (appelée rang de f), la dimension du noyau de f et la dimension de E. En particulier, le rang de f est inférieur à l'infinimum des dimensions de E et de F, et cela reste vrai en dimension infinie

Pour tout sous-espace vectoriel V de E, on a : dim E = dim V + dim E/V.

Pour tous sous-espaces vectoriels U et W de E, on a :dim U + dim W = dim(U+W)+ dim (U∩W).

Propriétés des espaces vectoriels de dimension finie

Par ce qui précède, un espace vectoriel est de dimension finie ssi il est engendré par une partie finie. Soit E un espace vectoriel de dimension finie (non nulle) égale à n.

• Si F₁ et F₂ sont deux sous-espaces vectoriels de E, alors

$\dim (F_1+F_2)+\dim (F_1\cap F_2)=\dim F_1+\dim F_2$.

Cette relation est connue sous le nom de formule de Grassmann.

• Si W est un sous-espace de E et que W et E ont même dimension, alors E=W
• Tous les supplémentaires d'un sous-espace vectoriel F de E ont la même dimension, qui est appelée codimension de F dans E.
• L'espace dual de E est également de dimension finie et de même dimension : $\mathrm{d}im(E^{\ast })=\mathrm{d}im(E)$.
• Soit $\mathcal{B}=\left(e_1,...,e_n\right)$ une base de E.

Il existe une unique base de $E^{\ast }$ telle que $\forall (i,j)\in {\left\{1,...,n\right\}}^2,e^{\ast }i(e_j)=\delta ij$,

où ${\delta }_{ij}$ est le symbole de Kronecker.

On dit alors que ${\mathcal{B}}^{\ast }$ est la base duale associée à $\mathcal{B}$.

• L'ensemble des formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n est un espace vectoriel de dimension 1. Ce résultat est à la base de la théorie du déterminant.
• Le rang est la dimension de l'espace des colonnes, qui est égale à celle de l'espace des lignes

• Si E est de dimension finie, et que f est un opérateur sur E, alors f est injectif ssi f est surjectif ssi f est bijectif.

Structures relatives

• Une paire d'espaces vectoriels est la donnée d'un espace vectoriel et d'un sous-espace vectoriel de celui-ci.
• Plus généralement, un espace vectoriel peut être filtré par la donnée d'une famille de sous-espaces vectoriels croissante ou décroissante.
• Un drapeau sur un espace vectoriel de dimension n est la donnée de n sous-espaces vectoriels emboîtés, de dimensions croissantes de 1 en 1.
• Un espace vectoriel de dimension fini peut être orienté par le choix d'une orientation sur ses bases.
• Un espace vectoriel gradué est une famille d'espaces vectoriels, généralement indexée par $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Z}/2$. Un morphisme entre deux tels espaces vectoriels gradués est alors une famille d'applications linéaires qui respecte la graduation.

Structures algébriques

• Un module M sur un anneau A est un groupe additif muni d'une loi externe sur M à coefficients dans A, compatible avec l'addition sur M et avec les opérations sur A. Mais il ne dispose en général ni de base ni de supplémentaires.
• Une algèbre est un espace vectoriel muni d'une multiplication distributive par rapport à l'addition et compatible avec la loi de composition externe.
• Une algèbre de Lie est un espace vectoriel muni d'un crochet de Lie compatible avec la loi de composition externe.

Structures topologiques et géométriques

• Un espace affine est un ensemble muni d'une action libre et transitive d'un espace vectoriel.
• Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire.
• Un espace vectoriel réel ou complexe est dit normé lorsqu'il est muni d'une norme. Par exemple, les espaces de Banach, dont les espaces de Hilbert qui généralisent la notion d'espace vectoriel euclidien, sont des espaces vectoriels normés.
• Si K est un corps muni d'une topologie, un espace vectoriel topologique sur K est un K-espace vectoriel muni d'une topologie compatible, c'est-à-dire que l'addition et la multiplication par un scalaire doivent être continues. C'est le cas entre autres des espaces vectoriels normés et des espaces de Fréchet.
• Un fibré vectoriel est une surjection d'un espace topologique sur un autre, telle que la préimage de chaque point soit munie d'une structure d'espace vectoriel compatible continûment avec les structures des préimages des points voisins.

La notion d'espace vectoriel naît conceptuellement de la géométrie affine avec l'introduction des coordonnées dans un repère du plan ou de l'espace usuel. Vers 1636, les mathématiciens français Descartes et Fermat donnèrent les bases de la géométrie analytique en associant la résolution d'une équation à deux inconnues à la détermination graphique d'une courbe du plan.

Afin de parvenir à une résolution géométrique sans utiliser la notion de coordonnées, le mathématicien Bolzano introduisit en 1804 des opérations sur les points, droites et plans, lesquelles sont les précurseurs des vecteurs. Ce travail trouve un écho dans la conception des coordonnées barycentriques par Möbius en 1827. L'étape fondatrice de la définition des vecteurs fut la définition par Bellavitis du bipoint, qui est un segment orienté (une extrémité est une origine et l'autre un but). La relation d'équipollence, qui rend équivalents deux bipoints lorsqu'ils déterminent un parallélogramme, achève ainsi de définir les vecteurs.

La notion de vecteur est reprise avec la présentation des nombres complexes par Argand et Hamilton, puis celle des quaternions par ce dernier, comme des éléments des espaces respectifs ${\mathbb{R}}^2$ et ${\mathbb{R}}^4$. Le traitement par combinaison linéaire se retrouve dans les systèmes d'équations linéaires, définis par Laguerre dès 1867.

En 1857, Cayley introduisit la notation matricielle, qui permit d'harmoniser les notations et de simplifier l'écriture des applications linéaires entre espaces vectoriels. Il ébaucha également les opérations sur ces objets.

Vers la même époque, Grassmann reprit le calcul barycentrique initié par Möbius en envisageant des ensembles d'objets abstraits munis d'opérations. Son travail dépassait le cadre des espaces vectoriels car, en définissant aussi la multiplication, il aboutissait à la notion d'algèbre. On y retrouve néanmoins les concepts de dimension et d'indépendance linéaire, ainsi que le produit scalaire apparu en 1844. La primauté de ces découvertes est disputée à Cauchy avec la publication de Sur les clefs algébrique dans les Comptes Rendus.

Le mathématicien italien Peano, dont une contribution importante a été l'axiomatisation rigoureuse des concepts existants — notamment la construction des ensembles usuels — a été un des premiers à donner une définition contemporaine du concept d'espace vectoriel vers la fin du XIXe siècle.

Un développement important de ce concept est dû à la construction des espaces de fonctions par Lebesgue, construction qui a été formalisée au cours du XXe siècle par Hilbert et Banach, lors de sa thèse de doctorat en 1920.

C'est à cette époque que l'interaction entre l'analyse fonctionnelle naissante et l'algèbre se fait sentir, notamment avec l'introduction de concepts clés tels que les espaces de fonctions p-intégrables ou encore les espaces de Hilbert. C'est à cette époque qu'apparaissent les premières études sur les espaces vectoriels de dimension infinie.

Principaux ouvrages sur l'algèbre linéaire utilisés :

Sources consultées et utilisées :

Autres articles et livres cités, en particulier sources historiques :

• (de) H. Boseck, Einführung in die Theorie der linearen Vektorraume, 1967
• (fr) Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, 1964
• (en) Leonid Mirsky, An Introduction to Linear Algebra, 1990