Sous-espace vectoriel

En algèbre linéaire, étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, un sous-espace vectoriel de E est une partie non vide F de E stable par combinaisons linéaires. Autrement dit, cette partie doit vérifier :

• La somme vectorielle de deux vecteurs de F appartient à F ;
• La multiplication d'un vecteur de F par un scalaire appartient à F.

Ces conditions imposent à ce que le vecteur nul appartienne à F. Muni des lois induites, F est un K-espace vectoriel. l'espace nul {0} et l'espace total E sont respectivement les plus petit et plus grand sous-espaces vectoriels de E. En général, une réunion finie de sous-espaces vectoriels n'est pas stable par combinaisons linéaires. Cependant, étant donnée une famille $(F_i{)}_{i\in I}$ de sous-espaces vectoriels de E, son intersection est un sous-espace vectoriel de E. La somme de la famille $(F_i{)}_{i\in I}$ est le plus petit sous-espace contenant tous les F_i.

Le sous-ensemble F est un $\mathbb{K}$-sous-espace vectoriel de E si et seulement si :

• $F\subset E$
• $F\ne \varnothing$ ;
• $\forall u,v\in F,u+v\in F$ ;
• $\forall \lambda \in \mathbb{K},\forall u\in F,\lambda u\in F$.

Ceci équivaut à :

• $F\subset E$
• $F\ne \varnothing$;
• $\forall u,v\in F,\forall \lambda ,\beta \in \mathbb{K},\lambda u+\beta v\in F$.

En d'autres termes, F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement s'il n'est pas vide et est stable par combinaisons linéaires.

Nota : dans tout espace vectoriel E non réduit à $\{0\}$, il y a au moins deux sous-espaces vectoriels. Ce sont $\{0\}$ et E lui-même : on les appelle les deux sous-espaces vectoriels triviaux.

Remarque 1 : un sous-espace vectoriel F de E contient nécessairement le vecteur nul $0_E$ de E (en effet, comme F est non vide, il existe au moins un élément $u_0$ de F ; alors, pour tout $\lambda$ dans $\mathbb{K}$, λu₀ appartient à F ; le choix $\lambda =0$ donne $0_E=0\cdot u_0\in F$).

C'est pourquoi, lorsqu'il s'agit de montrer qu'un sous-ensemble F de E est un sous-espace vectoriel de E, on vérifie souvent que F ne soit pas vide en s'assurant qu'il contient le vecteur nul (s'il ne le contient pas, il y a immédiatement contradiction).

Remarque 2 : lorsque E n'est pas réduit à $\{0\}$, on définit dans l'ensemble $G=E\setminus \{0_E\}$ une relation d'équivalence R qui consiste à dire que deux éléments V et W sont liés par R s'il existe un élément k non nul du corps commutatif K tel que W = k V. Alors P, l'ensemble quotient de G par R, a une structure très riche d'espace projectif.

Propriété

Soient $F_1$ et $F_2$ deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :

• $F_1\cap F_2$ est un sous-espace vectoriel de E .

Plus généralement, toute intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel, c'est-à-dire que : pour toute famille $(F_i{)}_{i\in I}$ de sous-espaces vectoriels de E, ${\cap }_{i\in I}{F}_i$ est un sous-espace vectoriel de E.

Dans le cas général, la structure de sous-espace vectoriel n'est pas stable par l'union. Il existe deux propositions traitant ce cas.

• E est ici de dimension finie, et son corps associé est de cardinal infini. Si (F_i) est une famille finie de sous-espaces vectoriels de E et tous différents de E, alors l'union de la famille (F_i) est différente de E.

• Si (F_i) est une famille de sous-espaces vectoriels de E telle que l'union de deux éléments de cette famille soit toujours incluse dans un troisième élément de la famille, alors l'union de la famille (F_i) est un sous-espace vectoriel de E.

Définition

Soient $F_1$ et $F_2$ deux sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E :

$F_1+F_2=\left\{x\in E/\exists x_1\in F_1,\exists x_2\in F_2,x=x_1+x_2\right\}$.

Propriété et définition

• $F_1+F_2$ est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois $F_1$ et $F_2$. On l'appelle somme de $F_1$ et $F_2$.
• Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois $F_1$ et $F_2$, alors $F_1+F_2\subset F$.

C'est pourquoi on dit que $F_1+F_2$ est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant $F_1\cup F_2$. Cela équivaut à :

• $F_1+F_2$ est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant $F_1\cup F_2$.

Remarque : la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est pas, en général, un sous-espace vectoriel ; pour qu'elle le soit, il faut et il suffit que l'un des deux soit inclus dans l'autre.

Généralisation

Soient $F_1,F_2,\dots ,F_m$ m sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E :

${\sum }_{i=1}^m{F}_i=\left\{x\in E/\exists (x_1,x_2,\dots ,x_m)\in F_1\times F_2\times \cdots \times F_m,x=x_1+x_2+\cdots +x_m\right\}$.

C'est l'ensemble des vecteurs de E qui admettent au moins une décomposition en somme de vecteurs appartenant respectivement aux sous-espaces vectoriels $F_1,F_2,\dots ,F_m$ (si cette décomposition est de plus unique, la somme des sous-espaces est dite directe).

Dès lors :

• ${\sum }_{i=1}^m{F}_i$ est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois $F_1,F_2,\dots ,F_m$. On l'appelle somme de ces sous-espaces.
• Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois $F_1,F_2,\dots ,F_m$, alors ${\sum }_{i=1}^m{F}_i\subset F$.

On dit de même que ${\sum }_{i=1}^m{F}_i$ est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant $F_1\cup F_2\cup \cdots \cup F_m$.

Définition

Soit A une partie quelconque de E.

• Si A est non vide, on définit le sous-ensemble suivant de E :

$\text{Vect}(A)=\left\{{\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i/n\in {\mathbb{N}}^{\star },{\lambda }_i\in \mathbb{K},x_i\in A\right\}$.

(ainsi, Vect(A) est par définition l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A).

• On complète cette définition en posant $\text{Vect}(\varnothing )=\{0_E\}$.

Propriété 1

Soit A une partie de E.

• L'ensemble Vect(A) est un sous-espace vectoriel de E, et il contient A.
• Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant A, alors $\text{Vect}(A)\subset F$.

C'est pourquoi on dit que Vect(A) est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A.

On l'appelle sous-espace vectoriel de E engendré par A.

• Le sous-espace vectoriel engendré par A est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A.

Nota : considérons l'application $\phi :\mathcal{P}(E)\to \mathcal{P}(E),A\mapsto \text{Vect}(A)$, où $\mathcal{P}(E)$ désigne l'ensemble des parties de E.

On désigne par A et B deux parties quelconques de E. Il résulte de la propriété précédente que :

• L'application $\phi$ est croissante : si $A\subset B$, alors $\text{Vect}(A)\subset \text{Vect}(B)$.
• L'application $\phi$ est extensive : $A\subset \text{Vect}(A)$.
• L'application $\phi$ est idempotente :Vect((Vect(A)) = Vect(A)

On dit alors que $\phi$ est une fermeture. Les sous-espaces vectoriels de E sont les points fixes de $\phi$ :

• Pour qu'une partie A de E soit un sous-espace vectoriel de E, il faut et il suffit que Vect(A) = A.

Propriété 2

Soient A et B deux parties de E. Alors :

• $\text{Vect}(A)+\text{Vect}(B)=\text{Vect}(A\cup B)$

Soit K un corps fini de cardinal q, et soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n sur K. Alors l'ensemble E est fini de cardinal q. Il possède un nombre fini de sous-espaces vectoriels. Le nombre de sous-espaces de dimension k vaut

$\frac{(q^n-1)(q^n-q)\dots (q^n-q^{k-1})}{(q^k-1)(q^k-q)\dots (q^k-q^{k-1})}$.

Cette quantité est le quotient du nombre de familles libres à k éléments de E par le nombre des bases dans un K-espace vectoriel de dimension k.