Des nombres à 4 dimensions pour mieux comprendre les ondes gravitationnelles
Publié par Adrien le 25/09/2019 à 08:00
Source: CNRS INS2I
Les quaternions, des nombres généralisant les nombres complexes en dimension 4, permettent de construire une nouvelle méthode d'analyse du contenu fréquentiel et géométrique des ondes gravitationnelles et de révéler la dynamique des binaires de trous noirs coalescents. Julien Flamant s'est intéressé à ce sujet durant sa thèse (Une thèse (du nom grec thesis, se traduisant par « action de poser ») est l'affirmation ou la prise de position d'un locuteur, à l'égard...) réalisée au Centre de Recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique désigne également...) en Informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique...), Signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux lumineux sont employés depuis la nuit...) et Automatique (L'automatique fait partie des sciences de l'ingénieur. Cette discipline traite de la modélisation, de l'analyse, de la commande et, de la régulation des systèmes dynamiques....) de Lille (CRIStAL - CNRS/Université de Lille/Ecole Centrale de Lille), pour laquelle il a reçu l'accessit du prix de thèse Signal, Image et Vision 2019.


Fig.1: Onde gravitationnelle x(t) et ses deux composantes (aussi appelées polarisations) h+(t) et hx(t) émise par un système binaire (Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'anglais binary digit, soit « chiffre binaire ») les chiffres de la...) de trous noirs en coalescence. L'analyse des propriétés de polarisation ( la polarisation des ondes électromagnétiques ; la polarisation dûe aux moments dipolaires dans les matériaux diélectriques ; En électronique, la polarisation est le fait...) instantanée de ce signal bivarié révèle la présence de précession (La précession est le nom donné au changement graduel d'orientation de l'axe de rotation d'un objet ou, de façon plus générale, d'un vecteur sous l'action de...) du plan orbital de la source d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière.) gravitationnelle.

Lorsqu'un signal porte deux informations en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), il est décrit par deux composantes associées à un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) 2: on parle de signaux bivariés. L'évolution d'un vecteur de dimension 2 au cours du temps peut être visualisée par la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) d'un trait de crayon sur une feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs. Elle est insérée sur les tiges des plantes au niveau des nœuds. À l'aisselle de la feuille se...) de papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres cellulosiques végétales et animales. Il se présente sous forme de feuilles minces et est considéré...), voir le "gribouillis" en forme de spirale (En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle tourne autour.) décrivant x(t) sur la figure 1. Sur cet exemple, on devine un dessin de forme circulaire: on parle de signal polarisé circulairement. La notion de polarisation est très commune en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la...) ondulatoire pour décrire les ondes radioélectriques ou lumineuses notamment.

L'analyse et le traitement des signaux bivariés est au coeur de nombreux domaines de la physique: analyse des ondes sismiques en géophysique, étude des propriétés des courants marins de surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu...) en océanographie (L’océanographie (de « océan » et du grec γρ?φειν / gráphein, écrire) est l'étude des océans et des mers de la Terre. Les...) ou encore caractérisation des sources d'ondes gravitationnelles en astrophysique (L’astrophysique (du grec astro = astre et physiqui = physique) est une branche interdisciplinaire de l'astronomie qui concerne principalement la physique et l'étude des propriétés des...). Jusqu'à présent, les différents outils développés pour le traitement des signaux bivariés n'offraient pas de description simple et naturelle de ces signaux en termes de paramètres de polarisation. Afin de répondre à ces limitations, nous avons proposé une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une...) unifiant interprétations physiques géométriques et outils standards du traitement du signal. En particulier, l'analyse de Fourier usuelle, qui permet de décomposer le contenu fréquentiel d'un signal (une fonction à valeurs réelles ou complexes), est construite en utilisant les nombres complexes. Elle est à la base de l'analyse spectrale (L'analyse spectrale est une méthode utilisée en physique pour déterminer les caractéristiques d'un phénomène observé. L'intensité du phénomène...), de l'analyse temps-fréquence, du filtrage linéaire, etc.

Pour généraliser cette approche aux signaux bivariés, un couple de signaux réels par exemple, nous avons proposé un nouveau cadre reposant sur les quaternions. Ces nombres hypercomplexes, introduits par Sir W.R. Hamilton au milieu du XIXe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la...), généralisent les nombres complexes en dimension 4. Ce changement de dimension fournit un nouvel espace de représentation et d'analyse. Cette représentation permet de construire un formalisme mathématique propre à l'analyse du contenu fréquentiel des signaux bivariés, tels que les ondes gravitationnelles. Bien qu'en apparence très abstraite, la nature algébrique de cette approche lui confère une interprétabilité physique remarquable. Elle permet de réaliser simplement des calculs impliquant les propriétés géométriques des signaux bivariés, sans rien sacrifier du point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) de l'efficacité de l'implémentation (Le mot implantation peut avoir plusieurs significations :) numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et...).

Ces résultats fournissent de nouveaux outils aux astrophysiciens pour l'étude de la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) orbitale des sources d'ondes gravitationnelles. Ces sources sont typiquement constituées d'une paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) de trous noirs en rotation l'un autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter,...) de l'autre, tel deux danseurs: on parle alors d'un système binaire de trous noirs. Ces travaux ont été menés en collaboration avec Eric Chassande-Mottin (Astroparticule et Cosmologie (La cosmologie est la branche de l'astrophysique qui étudie l'Univers en tant que système physique.) APC UMR 7164 CNRS/IN2P3, collaboration Virgo). Ils reposent sur la caractérisation du motif de polarisation de l'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de...) gravitationnelle afin de révéler d'éventuels effets de précession orbitale du système observé. Ce sont de nouveaux détails invisibles à l'oeil nu des systèmes de mesures - les interféromètres LIGO (LIGO (pour Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) est un projet d'interféromètre américain, destiné à détecter les ondes gravitationnelles.) et Virgo - qui vont s'offrir à nous et aux astrophysiciens en particulier.

Ces travaux de thèse réalisés par Julien Flamant résultent d'une collaboration entre le Centre de Recherche en Informatique, Signal et Automatique de Lille (CRIStAL - CNRS/Université de Lille/Ecole Centrale de Lille) et le laboratoire Grenoble Images Parole (La parole, c'est du langage incarné. Autrement dit c'est l'acte d'un sujet. Si le langage renvoie à la notion de code, la parole renvoie à celle de corps. La parole est singulière et opère un acte de...) Signal Automatique (GIPSA-Lab - CNRS/Grenoble INP/Université Grenoble Alpes). Ils ont été partiellement financés par le CNRS (Le Centre national de la recherche scientifique, plus connu sous son sigle CNRS, est le plus grand organisme de recherche scientifique public français (EPST).) et le GdR ISIS au travers du projet (Un projet est un engagement irréversible de résultat incertain, non reproductible a priori à l’identique, nécessitant le concours et l’intégration d’une...) SUNSTAR.

Julien Flamant est désormais chercheur (Un chercheur (fem. chercheuse) désigne une personne dont le métier consiste à faire de la recherche. Il est difficile de bien cerner le métier de chercheur tant les domaines de recherche sont diversifiés et impliquent d'importantes...) en post-doctorat au sein du Centre de Recherche en Automatique de Nancy (CRAN - CNRS/Université de Lorraine).

Référence

Une approche générique pour l'analyse et le filtrage des signaux bivariés
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