Précession - Définition
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Introduction
| La précession est le nom donné au changement graduel d'orientation de l'axe de rotation d'un objet ou, de façon plus générale, d'un vecteur sous l'action de l'environnement, par exemple, quand un couple lui est appliqué. Ce phénomène est aisément observable avec une toupie mais tous les objets en rotation peuvent subir la précession. Lors de la précession, l'angle que fait l'axe de rotation ou le vecteur avec une direction donnée reste fixée. Le vecteur ou l'axe de rotation décrit ainsi au cours du temps un cône dont l'axe est la direction fixée. Ce cône est parcouru à une vitesse angulaire constante qui est déterminée par les données du problème. Le sens dans lequel se produit la précession dépend du problème considéré. Dans le cas d'une toupie, la précession se fait dans le sens opposé à celui de la rotation. |  Précession d'un gyroscope |
Formule fondamentale
La formule mathématique qui décrit la précession d'une quantité
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où
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et dans le sens trigonométrique dans le plan orienté par
En prenant le produit scalaire de l'équation de départ avec
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Le membre de droite est nul, car il correspond au produit mixte comprenant deux vecteurs identiques. Cela implique donc que la composante de
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Pour la même raison que précédemment, le membre de droite est nul. Le membre de gauche de l'équation représente la variation de la norme de
En termes de composantes, si on choisit un système d'axes tel que
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La dernière équation donne la constance de la composante de
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En posant Nx + iNy = rexp(iθ), on a, en notant par un point la dérivation par rapport au temps,
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soit
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La précession mécanique
Lorsqu'un objet subit un couple, son axe de rotation change au cours du temps. Ce phénomène résulte du théorème du moment cinétique, conséquence du principe fondamental de la dynamique formulé dans la seconde moitié du XVIIe siècle par Isaac Newton. Quand ce couple est exercé par une force de direction constante (par exemple la pesanteur terrestre) sur un objet dont le moment cinétique est suffisamment important et dont l'axe de rotation passe par le point d'application de la force, alors l'objet va entrer en précession, c'est-à-dire que son moment cinétique va garder une intensité constante, mais va voir sa direction décrire une précession autour de la direction de la force.
En pratique, une toupie lancée avec une vitesse suffisamment grande va safisfaire à ces hypothèses. Son axe de rotation va ainsi garder un angle constant avec la verticale (la direction de la force de pesanteur), mais va tourner à vitesse constante (si l'on néglige les frottements).
La physique de la précession
Dans ces conditions, la période de précession est la suivante:
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Dans laquelle I est le moment d'inertie, T la période de rotation autour de l'axe de rotation, et C est le couple. Cette expression peut se réécrire en termes des vitesses angulaires correspondantes. En notant ω la vitesse angulaire du corps (ωs = 2π / Ts) et Ω celle de la précession (Ωp = 2π / Tp), on a
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