Résolution d'un très ancien problème "d'hélicoïde à poignée"
Publié par Michel le 29/12/2005 à 00:00
Source et illustration: Université de l'Indiana
Une bulle de savon entortillée qui possède une poignée? Il est compréhensible que l'on trouve cela difficile à visualiser. Les experts pensaient même depuis plus de deux siècles qu'une telle structure était mathématiquement impossible. Mais plus maintenant.

Dans un rapport publié dans l'édition de novembre de Proceedings of the National Academy of Sciences, les mathématiciens Matthias Weber de l'Université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la production du savoir (recherche), sa conservation et sa transmission (études supérieures). Aux États-Unis, au moment où...) de l'Indiana, David Hoffman de l'Université de Stanford et Michael Wolf de l'Université de Rice ont présenté la preuve de l'existence d'une nouvelle surface minimale (En mathématiques et en physique, une surface minimale est une surface minimisant son aire. Ce minimum est réalisé sous une contrainte : un ensemble de points, le bord de la surface, est d'avance déterminé....) dans une famille appelée "hélicoïde de genre un".


En haut: un hélicoïde traditionnel
En bas: le trou deviendrait une poignée si la forme était
totalement détordue en une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois...) plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage de formes...)

Un hélicoïde est la surface que l'on obtient quand une des formes les plus simples -une surface plane- est tordue un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) de fois. Si l'hélicoïde est vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.), sa forme ressemble à la rampe d'accès à un parking à étage. La nouvelle surface ressemble à cet hélicoïde traditionnel à ceci près qu'elle possède une caractéristique supplémentaire: une poignée telle qu'on peut la trouver sur une tasse à café, ou, si l'on préfère, comme si une colonne supplémentaire était rajoutée au niveau d'un "étage" de la rampe de stationnement (Le stationnement tout comme l’arrêt d’un véhicule consiste en une immobilisation de ce dernier.).

"Cette preuve nous indique que notre intuition n'était pas bien exacte au sujet ce qui est possible et ce qui n'est pas possible", remarque Weber. "Une raison probable à ce que l'on ne l'a pas découvert plus tôt est que personne n'avait imaginé que quelque chose de semblable pouvait exister".

Toutes les surfaces minimales ont quelque chose d'important en commun: une superficie (L'aire ou la superficie est une mesure d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent cette mesure par le terme « surface » lui-même (par exemple, on parle...) minimale. "Une surface minimale se forme lorsque la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) des deux côtés d'une surface est identique", explique Weber. "Par exemple, quand on plonge un crochet recourbé dans de l'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) savonneuse, la bulle de savon (Qui ne s'est pas un jour ou l'autre émerveillé à la vue des bulles de savon ? Ces petites boules volantes ou composant les mousses des écumes recèlent beaucoup...) qui se forme sur le crochet est une surface minimale". Ces bulles de savon (Le savon est un objet liquide ou solide composé de molécules amphiphiles composées de sels métalliques, spécifiquement d'hydroxyde de sodium ou d'hydroxyde de...) peuvent avoir diverses formes, selon la forme du crochet, mais dans tous les cas la bulle essaye de réduire au minimum la tension superficielle (La tension superficielle, ou énergie d'interface, ou énergie de surface, est la tension qui existe à la surface de séparation de deux milieux.) et cela se produit quand la bulle a la plus petite superficie possible. En chacun de ses points, une surface minimale est soit plane, soit de la forme d'une selle de cheval (Le cheval (Equus ferus caballus ou equus caballus) est un grand mammifère herbivore et ongulé appartenant à l'une des sept espèces de la famille des équidés. Il a évolué au cours des dernières...) (ou d'une pomme (La pomme est le fruit du pommier, arbre fruitier largement cultivé. L'étude de la culture des pommes constitue une partie de la pomologie, la pomologie englobant tous les fruits à pépins. La pomme...) chips).

Des applications variées

Les surfaces minimales s'avèrent importantes au niveau moléculaire. "A l'échelle nanométrique, les surfaces de contact entre certaines substances sont des surfaces minimales", indique Weber. Par exemple, certains copolymères qui sont des plastiques employés pour fabriquer de nouveaux types de tissus. Le mélange (Un mélange est une association de deux ou plusieurs substances solides, liquides ou gazeuses qui n'interagissent pas chimiquement. Le résultat de...) de ces copolymères produit des surfaces minimales aux points de contact. Savoir à quoi ressemblent ces zones de contact peut aider à déterminer les futures propriétés chimiques du mélange.

"Les surfaces minimales sont extrêmement stables en tant qu'objets physiques, précise Weber, et cela peut être un avantage pour toute sorte de structure". Des architectes ont été intrigués par les illustrations numériques de certaines de ses surfaces minimales et étudient avec lui la possibilité de les adapter à des structures architecturales, intérieures ou extérieures.

Les qualités esthétiques des images numériques de Weber ne sont pas non plus sans intérêt: sa galerie montre des surfaces minimales placées dans des environnements imaginaires. "Ces images ne sont pas destinées à illustrer des concepts mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...)", remarque Weber. "Elles atteindront leur but si les gens qui les regardent peuvent ressentir une partie de l'intrigant sortilège que ressent un mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme...) en explorant les objets mathématiques".

Dans une deuxième galerie, les images illustrent des concepts mathématiques. "C'est la plus complète collection de surfaces minimales accessible", indique Weber. "Les utilisateurs peuvent télécharger les programmes qui recréent les surfaces, leur permettant d'entreprendre des expériences numériques et visuelles".

La preuve complète des mathématiciens est longue de plus de 100 pages. Le résumé de leur rapport est disponible ici.

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