Une sculpture qui révèle la quatrième dimension
Publié par Michel le 21/10/2005 à 00:00
Source: Penn State
Les œuvres d'art portent souvent en elles une signification qui va au delà de leur beauté plastique, mais une nouvelle sculpture exposée dans les locaux du Penn State Department of Mathematics pousse cette tradition à ses limites.


La sculpture, conçue par Adrian Ocneanu,
représente l'ombre (Une ombre est une zone sombre créée par l'interposition d'un objet opaque (ou seulement partiellement opaque) entre une source de lumière et la surface sur laquelle se réfléchit cette lumière. Elle se...) tridimensionnelle d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une...) à quatre dimensions

L'œuvre, en acier inoxydable (Les aciers inoxydables jouent un grand rôle dans d'innombrables domaines : vie quotidienne, industrie mécanique, agroalimentaire, chimie, transports, médecine, chirurgie, etc. Ce sont des aciers, alliages de fer et de carbone,...), est à la fois un portail mental sur la quatrième dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) et un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit...) d'enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une pratique d'éducation visant à développer les connaissances d'un...). La sculpture elle-même mesure presque deux mètres dans chaque sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) et est montée sur une base de granit d'environ un mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international (SI). Il est défini, depuis 1983, comme la distance parcourue par la lumière dans le...) de haut afin de porter son centre approximativement à la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) de l'oeil. Conçue par Adrian Ocneanu, professeur de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) au Penn State, elle représente l'"ombre" tridimensionnelle d'un objet solide à quatre dimensions.

Les recherches d'Ocneanu concernent les modèles mathématiques de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) des champs quantiques basée sur la symétrie. Un aspect de son travail est de modéliser des solides réguliers, à la fois mathématiquement et physiquement.

Dans notre monde (Le mot monde peut désigner :) tridimensionnel, il n'existe que cinq polyèdres réguliers - le tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.), le cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de...), l'octaèdre (Un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces. Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six sommets.), le dodécaèdre (Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.), et l'icosaèdre (Un icosaèdre est un polyèdre à 20 faces. Le préfixe icosa-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.) - dont les faces se composent de triangles équilatéraux, de carrés ou de pentagones réguliers. En dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) quatre, il existe six solides réguliers, qui peuvent être construits sur la base des symétries des solides tridimensionnels. Malheureusement, notre cerveau (Le cerveau est le principal organe du système nerveux central des animaux. Le cerveau traite les informations en provenance des sens, contrôle de nombreuses fonctions du corps, dont la...) ne peut pas directement traiter l'information en quatre dimensions parce que nous ne percevons pas l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) de cette façon. Bien que les mathématiciens puissent travailler avec une quatrième dimension de manière abstraite en ajoutant une quatrième coordonnée aux trois que nous utilisons pour décrire un point (Graphie) dans l'espace, il est difficile de visualiser une quatrième dimension spatiale. Pour cela, des modèles et des analogies sont nécessaires.

De la même manière que la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et...) qui est un objet tridimensionnel, dont la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure, sa...) peut être représentée sur une carte bidimensionnelle plate, la sculpture d'Ocneanu "cartographie (La cartographie désigne la réalisation et l'étude des cartes géographiques. Le principe majeur de la cartographie est la représentation de données sur un support...)" un solide quadridimensionnel dans un espace sensible à l'observateur humain. Son procédé, la stéréographie radiale, est une nouvelle façon d'effecteur cette projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.).

"Si nous plaçons une ampoule au pôle Nord (Le pôle Nord géographique terrestre, ou simplement pôle Nord, est le point le plus septentrional de la planète Terre. Il est défini comme le point d’intersection de l'axe de rotation de...) de la Terre et que nous projetons sur une feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs. Elle est insérée sur les tiges...) de papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres cellulosiques végétales et animales. Il se présente sous forme de feuilles...) située sous elle," explique Ocneanu, "l'hémisphère Sud (L'hémisphère sud ou hémisphère austral est la moitié du globe terrestre qui s'étend entre l'équateur et le pôle Sud. En astronomie, ce terme...), loin du pôle Nord (Le nord est un point cardinal, opposé au sud.), sera très petit, alors que l'hémisphère Nord, près du pôle de projection, deviendra très grand avec le pôle Nord lui-même renvoyé à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.)".

La technique peut être employée pour faire une projection bidimensionnelle d'un cube en traçant d'abord le cube radialement sur la surface d'un globe. Ocneanu explique: "les bords de notre cube deviennent des cercles sur la carte, de la même façon que les routes droites sont légèrement recourbées sur une carte de la Terre. Ses angles, cependant, restent exacts dans cette projection, ainsi la carte qui maintient les aspects principaux de la symétrie du cube original, à la différence d'une simple photographie".

Quand la même technique est appliquée pour projeter un solide quadridimensionnel en trois dimensions, les formes de la partie interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon le...) de la projection, équivalente au pôle Sud (Le pôle Sud est le point le plus au sud de la surface de la Terre, diamétralement opposé au pôle Nord. Il est situé sur le continent Antarctique.) sur la carte, sont plus petites, moins déformées, alors que la partie externe se prolonge à l'infini. Les bords linéaires du solide deviennent des cercles dans la projection.

Cependant, la projection est isogone, ce qui signifie que les angles entre les faces et la manière dont les faces se rencontrent dans les coins sont uniformes pour toute la projection. La conservation de ces caractéristiques principales fait de cette sculpture un outil d'enseignement puissant en plus d'un objet esthétique.


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une animation (L'animation consiste à donner l'illusion du mouvement à l'aide d'une suite d'images. Ces images peuvent être dessinées, peintes, photographiées, numériques, etc.) Flash de la sculpture

Le sujet de la projection est un solide régulier de dimension 4 de complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en biologie...) moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient...), qu'Ocneanu appelle un "octacube". Il a 24 sommets, 96 cotés et 96 faces triangulaires, qui renferment 24 "volumes" tridimensionnels. Des fenêtres découpées dans les faces permettent au spectateur de voir l'intérieur de la structure, de la même manière qu'une fenêtre (En architecture et construction, une fenêtre est une baie, une ouverture dans un mur ou un pan incliné de toiture, avec ou sans vitres.) dans une salle cubique s'ouvre sur l'intérieur du cube. Physiquement, la sculpture est un puzzle géant de 96 morceaux triangulaires en acier (L’acier est un alliage métallique utilisé dans les domaines de la construction métallique (voir aussi l’article sur la...) inoxydable de forme sphérique.

La sculpture possède des significations dans plusieurs domaines des mathématiques liés à l'étude de la symétrie, et elle peut représenter des structures qui sont fondamentales dans beaucoup de branches des mathématiques et de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la...).

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