Une solution mathématique aux dimensions démesurées
Publié par Michel le 05/04/2007 à 00:00
Source: NSF et aimath.org
Illustration: Credit: American Institute of Mathematics
Depuis 1887, lorsque le mathématicien norvégien Sophus Lie a découvert le groupe mathématique appelé E8, les chercheurs ont vainement essayé de comprendre cet objet extraordinairement complexe décrit par une matrice de nombres de plus de 400 000 lignes et colonnes. Mais c'est désormais chose faite: une équipe internationale d'experts utilisant de puissants ordinateurs et techniques de programmation (La programmation dans le domaine informatique est l'ensemble des activités qui permettent l'écriture des programmes informatiques. C'est une étape importante de la conception de logiciel (voire de...) a réussi à "décoder" E8, un exploit qui s'apparente au séquençage (En biochimie, le séquençage consiste à déterminer l'ordre linéaire des composants d'une macromolécule (les acides aminés d'une...) du génome (Le génome est l'ensemble du matériel génétique d'un individu ou d'une espèce codé dans son ADN (à l'exception de certains virus dont...) humain, et qui devrait permettre des avancées dans un large éventail de problèmes en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle,...), en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des nombres et dans la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la...) de la théorie des cordes (La théorie des cordes est l'une des voies envisagées pour régler une des questions majeures de la physique théorique : fournir une description de la gravité quantique c'est-à-dire l'unification de la mécanique...).


240 vecteurs dans un espace à 8 dimensions
Voir légende détaillée en fin d'article

"Bien que le séquençage du génome humain soit d'une importance fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) en biologie (La biologie, appelée couramment la « bio », est la science du vivant. Prise au sens large de science du vivant, elle recouvre une partie des sciences...), il ne fournit pas immédiatement un remède ou un traitement miracle contre le cancer (Le cancer est une maladie caractérisée par une prolifération cellulaire anormalement importante au sein d'un tissu normal de l'organisme, de telle...)", note le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de...) Jeffrey Adams, leader du projet (Un projet est un engagement irréversible de résultat incertain, non reproductible a priori à l’identique, nécessitant le concours et...) et professeur de mathématiques à l'université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la production du savoir (recherche), sa conservation et sa transmission (études supérieures). Aux États-Unis, au...) du Maryland. "Notre étude est similaire: c'est une recherche fondamentale (La recherche fondamentale regroupe les travaux de recherche scientifique n'ayant pas de finalité économique déterminée au moment des travaux. On oppose en général la recherche fondamentale...) critique, mais ses implications peuvent ne pas devenir notoires avant de nombreuses années."

Le "séquençage" de E8 fait partie d'un plus vaste projet (*) destiné à élucider tous les groupes de Lie (qui sont des descriptions mathématiques de symétrie pour les objets continus tels que les cônes, les sphères et leurs contreparties en dimensions supérieures à trois. Plusieurs de ces groupes sont bien compris) ; E8 est le plus complexe.

Les groupes de... quoi, hein ?

Il est assez facile de comprendre les symétries d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses...), par exemple. Le groupe correspondant possède seulement deux éléments: les images miroir (Un miroir est un objet possédant une surface suffisamment polie pour qu'une image s'y forme par réflexion et conçu à cet effet. C'est souvent une couche métallique fine, qui, pour être protégée, est...) selon les diagonales et les images miroir qui résultent du partage en deux selon le centre de n'importe lequel de ses côtés. Les symétries forment un groupe dont les membres sont uniquement ces 2 degrés de liberté, ou dimensions.

La surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est...) d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les...) symétrique continu comme une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une...) est à deux dimensions, parce qu'il suffit de seulement deux coordonnées (la latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre (ou sur une autre planète), au nord ou au sud de l'équateur.) et la longitude (La longitude est une valeur angulaire, expression du positionnement est-ouest d'un point sur Terre (ou sur une autre planète).) sur la Terre) pour définir une position. Mais dans l'espace, une sphère peut tourner selon trois axes (un axe des abscisses, un axe des ordonnées et un axe "des z"), et le groupe de symétries correspondant a trois dimensions.

Dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept...), E8 défie l'imagination. Les symétries représentent un solide à 57 dimensions (il faut 57 coordonnées pour définir une position), et le groupe de symétries possède 248 dimensions.

Une collaboration entre des experts et une machine

En raison de sa taille et de sa complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en biologie (par exemple par Henri...), le calcul de E8 a demandé environ 77 heures (L'heure est une unité de mesure  :) de travail à un superordinateur (Un superordinateur (ou supercalculateur) est un ordinateur conçu pour atteindre les plus hautes performances possibles avec les technologies connues lors de sa conception, en particulier en terme de vitesse de calcul.) Sage et la création d'un fichier ( Un fichier est un endroit où sont rangées des fiches. Cela peut-être un meuble, une pièce, un bâtiment, une base de données informatique. Par exemple : ...) de 60 gigaoctets. En comparaison, le génome humain n'occupe qu'un gigaoctet. Tâche plus difficile, l'ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits électroniques permettant de manipuler des données sous forme...) devait avoir accès continuellement à des dizaines de gigaoctets de données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) dans sa mémoire vive (La mémoire vive, mémoire système ou mémoire volatile, aussi appelée RAM de l'anglais Random Access Memory (que l'on traduit en...) (la RAM), ce qui est très éloigné encore des capacités des ordinateurs domestiques et même de celles des superordinateurs jusqu'à récemment.

Les calculs eux-mêmes étaient très sophistiqués et ont nécessité toute la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que...) d'experts en divers domaines, capables de développer de nouvelles techniques mathématiques et de nouvelles méthodes de programmation.

Et malgré de nombreux "crashs" de l'ordinateur, à la fois pour des problèmes logiciels et matériels, le matin du 8 janvier 2007 le calcul d'E8 s'est achevé.

Quelques chiffres

Le résultat du calcul de E8 est une matrice de 453 060 lignes sur autant de colonnes.

Il y a 205 263 363 600 entrées dans cette matrice, chacune d'elle étant un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée...). La plus grande entrée est celle-ci:



La valeur de ce polynôme pour q = 1 est 60 779 787.

Il y a 1 181 642 979 polynômes distincts dans la matrice et 13 721 641 221 coefficients dans ceux-ci. Le plus grand coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme),...) est 11 808 808.


(*) Projet soutenu par la NSF (National Science Foundation) via l'IAA (American Institute of Mathematics).

Légende de l'illustration:
Système de 240 vecteurs racines dans un espace à 8 dimensions. Ces vecteurs sont les sommets d'un objet à 8 dimensions appelé le polytope (En géométrie, un polytope est la généralisation à toutes dimensions de la notion de polygone pour deux dimensions et de polyèdre pour trois dimensions. Ce...) 421 de Gosset. Dans les années 60, Peter McMullen en a dessiné à la main (La main est l’organe préhensile effecteur situé à l’extrémité de l’avant-bras et relié à ce dernier par le poignet. C'est un organe destiné à...) une représentation à deux dimensions. L'image présentée ici est basée sur le schéma de McMullen et a été réalisée sur ordinateur par John Stembridge de l'Université du Michigan.
Les droites joignent des sommets adjacents dans le polytope, les couleurs reflètent la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de...) de la projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) à deux dimensions. Comme cette illustration est une projection à deux dimensions d'un objet à 8 dimensions, elle ne représente qu'une partie des symétries du polytope de Gossett.
L'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) de Lie E8 est à 248 dimensions: les 8 dimensions spatiales représentées ici plus une dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) pour chacun des 240 vecteurs racines.


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