Icosaèdre - Définition

Introduction

Icosaèdre
Type	Polyèdre régulier
Faces	Triangle
Éléments :  · Faces  · Arêtes  · Sommets  · Caractéristique	20 30 12 2
Faces par sommet	5
Sommets par face	3
Isométries	A5xC2
Dual	Dodécaèdre
Propriétés	Deltaèdre régulier et convexe
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En mathématiques, et plus précisément en géométrie, un icosaèdre est un solide de dimension trois, de la famille des polyèdres, c'est-à-dire que sa surface est composée d'un nombre fini de polygones et qu'il se décrit à l'aide de ses sommets ou de ses arêtes ou encore de ses différentes faces. Plus exactement, un icosaèdre est un polyèdre contenant exactement vingt faces. Le préfixe icosa-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.

Il existe un icosaèdre régulier convexe. Le polyèdre est dit régulier si toutes les arêtes possèdent la même longueur et si tous les angles entre deux arêtes partageant un sommet et une même face sont égaux. Si tout segment dont les extrémités sont à l'intérieur du polyèdre est intégralement à l'intérieur du polyèdre, on parle de convexité. Il existe 5 polyèdres à la fois réguliers et convexes, ils sont appelés solides de Platon, en l'honneur du philosophe grec Platon.

Le squelette de l'icosaèdre régulier, l'ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes, forme un graphe appelé graphe icosaédrique.

Le groupe des rotations de l'icosaèdre est celui formé par les rotations de l'espace qui laissent invariant la position globale de l'icosaèdre, tout en permutant certaines faces. Il comporte 60 éléments et est une copie du groupe alterné de degré 5.

Un autre solide de Platon partage avec l'icosaèdre le même groupe de rotations, le dodécaèdre. On obtient un dodécaèdre en considérant le solide dont les sommets sont les centres des faces d'un icosaèdre. Réciproquement, on obtient un icosaèdre en considérant le solide ayant pour sommets les centres des faces d'un dodécaèdre. On dit que les solides de Platon icosaèdre et dodécaèdre sont duaux.

Géométrie de l'icosaèdre régulier convexe

Construction manuelle d'un icosaèdre

Un icosaèdre se construit à l'aide de 20 triangles équilatéraux de même dimension. On commence par assembler 5 des triangles par leurs arêtes de telle manière qu'ils forment un bol avec une pointe en bas. Ainsi la base du solide est un sommet partagé par les 5 triangles et le bord est composé de 5 segments, tous de même longueur, formant un pentagone régulier. Sur chacun des 5 segments formant la surface du bol, on colle un nouveau triangle de manière à ce que le côté supérieur de chaque triangle du bol soit aussi le côté inférieur d'un des 5 triangles ajoutés. On redresse ensuite les 5 triangles supérieurs de manière à ce que leurs faces soient verticales. On obtient alors un bol plus vaste, composé de 10 triangles, et dont la partie supérieure est formée de 5 dents .

On construit une deuxième forme identique à la première. On a alors utilisé l'intégralité des 20 triangles. La deuxième forme s'emboite exactement dans la première, formant un polyèdre régulier. Il est illustré sur la figure de droite, le bol inférieur est bleu. On remarque sa calotte inférieure, puis les 5 dents, dont 3 sont face à un observateur et 2 derrière. Le bol supérieur, en rouge sur la figure possède la même géométrie. Pour les emboiter, il suffit de placer la calotte en haut et 2 dents en face de l'observateur.

On peut encore construire l'icosaèdre à l'aide du patron illustré sur la figure de droite. L'icosaèdre s'obtient en collant le côté libre du triangle jaune en haut à gauche sur le côté libre du triangle orange, en bas à droite. Les 5 triangles rouges, connexes aux triangles orange sont alors approchés pour que leurs sommets libres se confondent en un seul point. La même opération, effectuée sur les 5 triangles rouges, connexes aux triangles jaunes, termine la construction de l'icosaèdre. Le patron présenté ici est un exemple, il en existe bien d'autres. On en trouve 43.380.

Propriétés

Un icosaèdre comporte 20 faces. Il possède 12 sommets, 1 en bas, 5 à la base inférieure des dents décrites dans la première construction et autant pour le bol supérieur. Il possède 30 arêtes, chacun des 12 sommets possède 5 arêtes, soit 60, mais comme une arête contient 2 sommets, il faut diviser 60 par 2 pour obtenir le bon résultat.

Les plus grands segments inclus dans le polyèdres ont tous pour extrémités deux sommets du polyèdre. Il en existe 6 et l'intersection de ces 6 segments est un point, appelé centre du polyèdre. Ce point est aussi le centre de gravité du solide. Il existe 10 segments d'extrémités deux points de la surface du polyèdre, passant par le centre et de longueur minimale. Les extrémités sont les centres de deux faces opposées, elles sont parallèles entre elles. Ces remarques géométriques permettent de qualifier la sphère circonscrite et celle inscrite du solide. La sphère circonscrite est celle de plus petit rayon dont l'intérieur contient l'intérieur du polyèdre. Cette définition généralise celle de cercle circonscrit. On peut de même parler de sphère inscrite pour désigner celle de plus grand rayon dont l'intérieur est inclus dans l'intérieur du solide, généralisant ainsi la définition de cercle inscrit.

Une analyse rapide pourrait laisser penser qu'il existe un cercle contenant 6 des sommets du polyèdre, il n'en est rien. Un cercle contient un maximum de 5 sommets. Cette erreur est, par exemple, commise par Albrecht Dürer, un peintre du XVI^e siècle. En revanche, Dürer ne commet pas d'erreur quand il affirme que :

Cette propriété est illustrée sur la figure de droite. Chacune des faces du cube contient deux sommets et une arête du polyèdre. Le cube contient 6 faces, donc les 12 sommets.

La structure de ce polyèdre est régulière. Les arêtes possèdent toutes la même longueur, deux arêtes d'une même face et possédant un sommet commun forment toujours le même angle, égal à 60 degré ou encore à π/3, si la mesure de l'angle est le radian. Le nombre d'arêtes partageant un même sommet est une constante qui ne dépend pas du sommet choisi. On parle de polyèdre régulier. Un segment ayant ses deux extrémités à l'intérieur du solide est intégralement à l'intérieur du solide, on dit que l'icosaèdre est convexe. Une autre manière de voir les choses est de remarquer qu'un élastique qui entoure le solide le touche en chaque point. Ces deux manières de voir sont équivalentes. Les polyèdres réguliers ne sont pas toujours convexes, un contre exemple est donné à la suite de l'article. Les polyèdres réguliers convexes sont appelés solide de Platon.

Rotation et symétrie

Une rotation laisse globalement invariant l'icosaèdre, lorsque l'image du solide par la rotation occupe exactement la même position que celle initiale. Les sommets, les arêtes et les faces sont peut-être permutés, mais la position globale est inchangée.

Dans le cas d'un solide de Platon, une rotation qui laisse globalement invariant l'icosaèdre possède un axe qui traverse nécessairement le centre du solide et qui passe, soit par un sommet, soit par le milieu d'une arête, soit par le milieu d'une face.

Étudions, dans un premier temps, les rotations dont l'axe contient le centre d'une arête. Pour comprendre leur nature, le plus simple est de regrouper les points dans des plans perpendiculaires à l'axe de la rotation. Ce regroupement est effectué sur la figure de droite. Il met en évidence cinq ensembles. Les deux extrêmes, en bleu, sont composés de deux points formant les arrêtes qui délimitent le solide et qui croisent en leur milieu l'axe étudié. On trouve ensuite deux ensembles de deux points, illustré en rouge sur la figure, qui se trouvent sur deux droites perpendiculaires à la fois aux segments bleus et à l'axe de rotation. Enfin, au milieu du polyèdre, on trouve 4 points formant un rectangle. Ces 5 figures sont invariantes par une rotation d'un demi-tour. On en déduit l'existence d'une rotation d'un demi-tour pour chaque couple d'arêtes situées aux antipodes l'une de l'autre. Comme il existe 30 arêtes, on a 15 rotations d'un demi-tour. Aucune autre rotation autour de l'axe ne laisse invariant le solide, à l'exception de la rotation identité. En effet, les autres rotations ne laissent pas invariant un segment perpendiculaire à l'axe de rotation et non réduit à un point.

Il existe deux autres axes de rotations, qui forment avec le premier, 3 axes dont les rotations d'un demi-tour laissent globalement invariant l'icosaèdre. Ces trois axes sont perpendiculaires entre eux, les rotations commutent entre elles.

La figure de gauche illustre le cas d'un axe passant par le centre du solide et qui traverse la surface du polyèdre par le centre de deux faces opposées. La même technique que celle utilisée précédemment regroupe cette fois ci les sommets en quatre ensembles. Par construction, les deux ensembles extrêmes sont des faces. Ce sont des triangles équilatéraux de même dimension et pivotés de demi-tour, l'un par rapport à l'autre. Les deux ensembles centraux, en violet sur la figure, sont aussi des triangles équilatéraux, de dimensions plus grandes. Une rotation d'un demi-tour est nécessaire pour faire coïncider deux triangles situés l'un à côté de l'autre. L'axe étudié traverse chacun des 4 triangles en son centre, on en déduit qu'à l'exception de la rotation d'un angle nul, seul les rotations d'un tiers de tour, dans un sens ou dans un autre laissent les sommets invariants.

Il existe 2 rotations d'un tiers de tour par couple de faces. Le solide contient 20 faces, on en déduit qu'il existe 20 rotations de cette nature.

La figure en bas à droite du paragraphe illustre le cas d'un axe passant par le centre du solide et qui traverse la surface du polyèdre par deux sommets opposés. Les sommets sont encore regroupés en 4 ensembles. Les deux extrêmes sont composés d'un unique point, les deux ensembles les plus proches du centre forment chacun un pentagone régulier. Ils sont de même dimension et sont encore décalés d'un demi tour. Les seules rotations qui laissent globalement invariant un pentagone sont celles d'un angle multiple d'un cinquième de tour.

Il existe 4 rotations d'axes passant par deux sommets, laissant globalement invariant le solide, si l'on néglige la rotation d'angle nul. Il existe 12 sommets et 6 axes contenant deux sommets opposés, soit 24 rotations de cette nature.

Une fois déterminée les rotations, il devient simple de trouver les autres isométries, c'est-à-dire celles correspondant à des réflexions ou à une symétrie centrale. On les appelle parfois symétrie impropre, en opposition à symétrie propre qui ne désigne que les rotations. Une symétrie impropre est une isométrie qui n'est pas une rotation, ou encore dont le déterminant est égal à -1. La composée de deux symétries impropres est une rotation.

La première symétrie impropre à laquelle on peut penser est la symétrie centrale γ de centre celui du polyèdre. Les différentes illustrations précédentes montrent toutes qu'elle laisse globalement invariant le solide. Si σ est une symétrie impropre quelconque, sa composée avec γ est une rotation, notée ici ρ. L'isométrie γ est involutive, c'est-à-dire qu'appliquer deux fois γ revient à ne pas bouger le solide. On en déduit que σ est la composée d'une des rotations déjà explicitée avec γ. Si ρ₁ et ρ₂ sont deux rotations différentes, alors γ.ρ₁ et γ.ρ₂ sont deux symétries différentes. Pour s'en rendre compte, il suffit que composer ces deux symétries par γ, on obtient les deux rotations ρ₁ et ρ₂ car γ est involutive. Si les deux symétries étaient identiques, leurs composées le seraient aussi, comme ce n'est pas le cas, on en déduit qu'elles sont différentes. Il existe exactement 60 symétries impropres.

La composée d'une symétrie centrale par une rotation d'un angle non nul et dont l'axe contient le centre de symétrie est une réflexion. On en déduit que l'ensemble des symétries impropre est composée d'une symétrie centrale γ et de 59 réflexions.

Figures remarquables de l'icosaèdre

Les symétries d'ordre 3 et 5 introduisent les figures géométriques planes associées à ces symétries.

Une symétrie plane d'ordre 3 a pour groupe de symétrie le triangle équilatéral (cf Réseau (géométrie)). Il est naturel d'en trouver la trace dans l'icosaèdre. Il est possible de construire de tels triangles avec les différents sommets du solide. Chaque axe passant par le centre de deux faces opposées traverse en leurs centres 4 triangles équilatéraux. Deux de ces triangles sont des faces. Les deux autres, représentés en violet sur la figure du paragraphe précédent, ont un côté en proportion d'extrême et moyenne raison par rapport à une arête du polyèdre. Ceci signifie que le côté d'un rectangle violet, divisé par la longueur d'une arête est égal au nombre d'or.

Pour chaque paire de faces, on trouve 2 petits triangles équilatéraux et 2 grands, soit un total de 12 petits triangles équilatéraux et autant de grands.

La présence du nombre d'or n'est guère surprenante, elle intervient dans l'expression d'une rotation d'ordre 5 et par conséquent dans les rapports de dimensions d'un pentagone. Parallèlement à chaque axe passant par deux sommets opposés, on trouve deux pentagones dont le plan est orthogonal à l'axe. Chaque sommet du pentagone est aussi un sommet de deux triangles d'or de géométries différentes. Un triangle est dit d'or quand il est isocèle et que le grand et le petit côté sont en proportion d'extrême et de moyenne raison. Il en existe deux types différents, ceux ayant deux grands côtés, en gris sur la figure de droite et ceux ayant deux petits côtés, en jaune. Chaque sommet d'un pentagone est le sommet adjacent à deux côtés égaux d'un triangle d'or de chaque type. La figure contient 2 pentagones, soit 10 sommets et 20 triangles d'or. Il existe 6 axes différents passant par deux sommets opposés, soit 120 triangles d'or.

On trouve aussi des rectangles d'or, c'est-à-dire des rectangles dont la longueur et la largeur ont un rapport égal au nombre d'or. On en trouve exactement 1 par côté du pentagone, le deuxième côté se situe alors sur l'autre pentagone. Un exemple est illustré en vert sur la figure de droite. Comme il existe 5 paires d'arêtes de cette nature pour chaque couple de pentagones, on trouve 30 rectangles d'or.

Polyèdre dual

A l'aide d'un polyèdre régulier, il est possible d'en construire un nouveau, de sommets les centres des faces du solide initial. Le dual d'un solide de Platon est encore un solide de Platon.

Dans le cas d'un icosaèdre, le dual possède 20 sommets et chaque face est un pentagone régulier car chaque sommet est partagé par 5 arêtes. Le polyèdre obtenu est un dodécaèdre régulier convexe, un solide composé de 12 faces pentagonales. Réciproquement, le dual d'un dodécaèdre, solide de Platon, est un polyèdre régulier convexe à 12 sommets. Comme chaque sommet du dodécaèdre est partagé par 3 arêtes, les faces de son dual sont des triangles équilatéraux. On reconnaît l'icosaèdre. Cette propriété est générale aux polyèdres, le dual du dual d'un polyèdre est une homothétie du solide initial.

Une symétrie qui laisse globalement invariant l'icosaèdre laisse aussi invariant l'ensemble des milieux de ses faces. On en déduit que toute symétrie de l'icosaèdre est aussi une symétrie du dodécaèdre. Réciproquement, le même raisonnement montre que toute symétrie du dodécaèdre est aussi une symétrie de l'icosaèdre. Les deux ensembles d'isométries, associés aux deux polyèdre duaux sont les mêmes. Ici, le terme de symétrie est utilisé au sens d'isométrie.

Grandeur caractéristique

Le tableau suivant présente les différentes grandeurs caractéristiques de l'icosaèdre régulier convexe :

Dimensions d'un icosaèdre dont la longueur de l'arête est a
Angle diédral
Rayon de la sphère circonscrite
Rayon de la sphère inscrite
Arête du cube circonscrit
Hauteur de l'icosaèdre (distance entre deux faces opposées)
Volume
Fraction de sphère circonscrite occupée
Surface
Quotient isopérimétrique

L'angle diédral est l'angle entre deux plans contenant chacun une face de l'icosaèdre. Les deux faces partagent un même sommet.