Géométrie - Définition et Explications

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Introduction

La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne (On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au...), par exemple). Certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par...), géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul...), et géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement,...), par exemple.

Il est donc difficile de définir ce qu'est, aujourd'hui, la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) de manière à englober toutes ces géométries, l'unité de ces géométries étant dans leur origine historique plutôt que dans leurs méthodes ou leurs objets.

Obtention de la section conique (Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques,...) par la projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de...) de deux sphères de diamètres distincts (voir le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Dandelin).

Étymologie

Le terme géométrie dérive du grec de γεωμέτρης (geômetrês) qui signifie « géomètre, arpenteur » et vient de γῆ () (« terre ») et μέτρον (métron) « mesure »). Ce serait donc « la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire...) de la mesure du terrain ».

Conception de la géométrie

La géométrie admet de nombreuses acceptions selon les auteurs. Dans un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) strict, la géométrie est « l'étude des formes et des grandeurs de figures ». Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) est conforme à l'émergence de la géométrie en tant que science sous la civilisation grecque durant l'époque classique. Selon un rapport de Jean-Pierre Kahane, cette définition coïncide avec l'idée que se font les gens de la géométrie comme matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses...) enseignée : c'est « le lieu où on apprend à appréhender l'espace ».

Les questions posées durant le XIXe siècle ont conduit à repenser la notion de formes et d'espace, en écartant la rigidité des distances euclidiennes. Il été envisagé la possibilité de déformer continument une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) sans préserver la métrique induite, par exemple de déformer une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) en un ellipsoïde (En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois...). Étudier ces déformations a conduit à l'émergence de la topologie : ses objets d'étude sont des ensembles, les espaces topologiques, dont la notion de proximité et de continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction....) est définie "ensemblistiquement" par la notion de voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la...). Selon certains mathématiciens, la topologie fait pleinement partie de la géométrie, voire en est une branche fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.). Cette classification peut être remise en cause par d'autres.

Selon le point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) de Felix Klein , la géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle les...) « synthétisait en fait deux caractères ultérieurement dissociés : son caractère fondamentalement métrique, et l'homogénéité ». Le premier caractère se retrouve dans la géométrie métrique, qui étudie les propriétés géométriques des distances. Le second est au fondement du , qui définit la géométrie comme l'étude des invariants d'actions de groupe.

Les travaux actuels, dans des domaines de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) portant le nom de géométrie, tendent à remettre en cause la première définition donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...). Selon Jean-Jacques Szczeciniarcz, la géométrie ne se construit pas sur « la simple référence à l'espace, ni même [sur] la figuration ou [sur] la visualisation » mais se comprend à travers son développement : « la géométrie est absorbée mais en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) nous parait attribuer un sens aux concepts en donnant par ailleurs l'impression d'un retour au sens initial ». Jean-Jacques Sczeciniarcz relève deux mouvements dans la recherche mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) qui a conduit à un élargissement ou à un morcellement de la géométrie :

  • La procédure d'idéalisation consistant à montrer l'importance d'une structure en l'ajoutant aux objets mathématiques déjà étudiés ;
  • Au contraire, la procédure de thématisation consistant à dégager une nouvelle structure sous-jacente à des objets géométriques déjà étudiés.

Dans le prolongement, la géométrie peut être abordée non plus comme une discipline unifiée mais comme une vision des mathématiques ou une approche des objets. Selon Gérhard Heinzmann, la géométrie se caractérise par « un usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de termes et de contenus géométriques, comme, par exemple, « points », « distance » ou « dimension » en tant que cadre langagier dans les domaines les plus divers », accompagné par un équilibre entre une approche empirique et une approche théorique.

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