Théorie des nombres - Définition et Explications

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Introduction

Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient beaucoup de problèmes ouverts qu'il est facile de comprendre, même par les non-mathématiciens. Plus généralement, le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d'étude de cette théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres (Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe...) occupe une place particulière en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), à la fois par ses connexions avec de nombreux autres domaines, et par la fascination qu'exercent ses énoncés. Ainsi, la citation suivante, de Jürgen Neukirch :

« La théorie des nombres occupe parmi les disciplines mathématiques une position idéalisée analogue à celle qu'occupent les mathématiques elles-mêmes parmi les autres sciences. »

Le terme « arithmétique » est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé (Le passé est d'abord un concept lié au temps : il est constitué de l'ensemble...). Néanmoins, le terme reste répandu — c’est-à-dire dans les noms des champs mathématiques (géométrie algébrique arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...), l'arithmétique des courbes et surfaces elliptiques). Ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec la branche de logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος),...) qui étudie l'arithmétique dans le sens des systèmes formels.

La théorie des nombres peut être divisée en plusieurs champs d'étude en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées.

Les diverses branches de la théorie des nombres

La théorie élémentaire des nombres

Dans ce domaine, les entiers sont étudiés sans utiliser de techniques d'autres domaines des mathématiques. Les questions de divisibilité, l'algorithme d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) pour calculer le plus grand commun diviseur (En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division...) (PGCD), la factorisation des entiers en nombres premiers, la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) des nombres parfaits et des congruences appartiennent à ce domaine. Les affirmations typiques sont le petit théorème de Fermat (En mathématiques, le petit théorème de Fermat est un résultat de...) et le théorème d'Euler, et par extension le théorème des restes chinois (Le théorème des restes chinois est un résultat d'arithmétique traitant de résolution de...) et la loi de réciprocité quadratique. Les propriétés des fonctions multiplicatives comme la fonction de Möbius (En mathématiques, la fonction de Möbius désigne généralement une fonction...) et la fonction φ d'Euler sont étudiées ; ainsi que les suites d'entiers comme les factorielles et les nombres de Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom...).

Beaucoup de questions en théorie élémentaire des nombres apparaissent simples mais requièrent de très profondes considérations et de nouvelles approches, tels les exemples suivants :

  • La conjecture de Goldbach (La conjecture de Goldbach est l'un des plus vieux problèmes non résolus de la théorie des...) concernant l'expression des nombres pairs comme somme de deux nombres premiers,
  • La conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que...) des nombres premiers jumeaux à propos de l'infinité des paires de nombres premiers consécutifs, et
  • La conjecture de Syracuse (La conjecture de Syracuse ressemble à un jeu de calcul. On prend n’importe quel nombre...) concernant une simple itération.

La théorie des équations (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) diophantiennes a même été montrée comme étant indécidable.

La théorie analytique des nombres

La théorie analytique des nombres emploie l'outillage du calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques,...) et de l'analyse complexe pour traiter des questions sur les entiers. Le théorème des nombres premiers et l'hypothèse de Riemann (L'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien Bernhard...) qui lui est reliée en sont des exemples. Le problème de Waring (c’est-à-dire : pour un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) donné, est-il la somme de carrés, de cubes, etc.), la conjecture des nombres premiers jumeaux (trouver une infinité de paires de nombres premiers dont la différence est 2) et la conjecture de Goldbach (écrire les entiers pairs comme somme de deux nombres premiers) sont attaqués avec les méthodes d'analyse avec succès. Les preuves de la transcendance des constantes mathématiques, comme π ou e, sont aussi classées comme faisant partie de la théorie analytique des nombres. Tandis que les résultats à propos des nombres transcendants semblent être enlevés de l'étude des entiers, ils étudient réellement les valeurs possibles de polynômes à coefficients entiers évalué à, disons, e; ils sont aussi reliés fermement au champ de l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) diophantienne, qui recherche « de quelle façon correcte » un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) donné peut être approché par un nombre rationnel (Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de...).

La théorie algébrique des nombres

Dans la théorie algébrique des nombres, le concept de nombre est étendu aux nombres algébriques qui sont les racines des polynômes avec des coefficients rationnels. Ces domaines contiennent des éléments analogues aux entiers, connus sous le nom entiers algébriques. Avec ces règles, les propriétés familières des entiers (c’est-à-dire la factorisation unique) ne sont plus les mêmes. Les vertus de l'outillage employé -- théorie de Galois (En mathématiques et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est...), corps cohomologique, théorie des corps de classes, représentation des groupes et les fonctions L -- sont telles qu'elles permettent de retrouver un ordre partiel (Le mot partiel peut être employé comme :) pour ces nouvelles classes de nombres.

Beaucoup de questions théoriques sur les nombres sont attaquées avec succès par leur étude modulo p pour tous les nombres premiers p.

Ceci mène à la construction des nombres p-adiques ; ce champ d'étude est appelé analyse locale et résulte de la théorie algébrique des nombres.

La théorie géométrique des nombres

Traditionnellement appelée géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) des nombres, la théorie géométrique des nombres incorpore toutes les formes de la géométrie. Elle commence avec le théorème de Minkowski (En mathématiques, le théorème de Minkowski est un résultat concernant la...) à propos de réseaux de points (treillis) dans les ensembles convexes et de recherches sur les empilement de sphères. La géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement,...), et spécialement la théorie des courbes elliptiques, peuvent aussi être employées. Le célèbre Dernier théorème de Fermat fut prouvé avec ces techniques.

La théorie combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les...) des nombres

La théorie combinatoire des nombres s'occupe des problèmes de théorie des nombres qui impliquent les idées combinatoires dans leurs formulations ou leurs solutions. Paul Erdős est le principal fondateur de cette branche de la théorie des nombres. Les sujets caractéristiques incluent le système de couverture, les problèmes à somme zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...), diverses sommes d'ensembles restreintes et des progressions arithmétiques dans l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des entiers. Les méthodes algébriques ou analytiques sont puissantes dans ce champ d'étude.

La théorie calculatoire des nombres

Ce domaine étudie plus particulièrement les algorithmes appropriés pour la théorie des nombres. Les algorithmes déterministes et probabilistes pour les tests de primalité des nombres supposés premiers et les décompositions en produit de facteurs premiers de nombres à plusieurs centaines de chiffres ont d'importantes applications en cryptographie (La cryptographie est une des disciplines de la cryptologie s'attachant à protéger des messages...) et est, de fait, un sujet très sensible.

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