Antécédent (mathématiques)

En mathématiques, étant donnés deux ensembles non vides E, F et une application $f:E\to F$, on appelle antécédent (par f) d'un élément y de F tout élément x de E tel que $f(x)=y$.

Un antécédent est donc, par définition, un élément de l'image réciproque $f^{-1}(\{y\})$.

Exemples

• Soient la fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$ et y un réel.

Si y > 0, y admet deux antécédents, qui sont $\sqrt{y}$ et $-\sqrt{y}$

Si y = 0, y admet un seul antécédent, qui est 0

Si y < 0, y n'admet aucun antécédent

• Soient E un ensemble non vide, et une application $f:E\to \mathcal{P}(E)$, où $\mathcal{P}(E)$ désigne l'ensemble des parties de E. On définit $Y=\{x\in E/x\notin f(x)\}$ : Y est une partie de E, autrement dit un élément de l'ensemble $\mathcal{P}(E)$.

Cet élément n'admet aucun antécédent par f. En effet, supposons qu'un tel antécédent $x_0\in E$ existe. On a donc $f(x_0)=Y$.

Deux cas sont possibles :

$x_0\in Y$, ce qui veut dire (par définition de Y) que $x_0\notin f(x_0)$, ou $x_0\notin Y$

$x_0\notin Y$, ce qui veut dire (par définition de Y) que $x_0\in f(x_0)$, ou $x_0\in Y$

Dans les deux cas, on aboutit à une contradiction, ce qui prouve par l'absurde que Y n'a pas d'antécédent (cf. l'argument de la diagonale de Cantor).

Soient une application $f:E\to F$ et A un sous-ensemble de E. On appelle image de A par f l'ensemble des éléments y de F qui admettent au moins un antécédent appartenant à A ; on la note $f(A)$:

$f(A)=\{y\in F/\exists x\in A,y=f(x)\}$.

En particulier, l'image de E par f, appelée image de f, est l'ensemble des éléments y de F qui admettent au moins un antécédent :

$f(E)=\{y\in F/\exists x\in E,y=f(x)\}$.

Soit une application $f:E\to F$.

• On dit que f est injective, ou que c'est une injection, si tout élément de F admet au plus un antécédent.
• On dit que f est surjective, ou que c'est une surjection, si tout élément de F admet au moins un antécédent, c'est-à-dire si

$f(E)=F$.

• On dit que f est bijective, ou que c'est une bijection, si tout élément de F admet un antécédent et un seul, c'est-à-dire si f est à la fois injective et surjective.

Dans ce cas, on peut définir l'application $f^{-1}:F\to E,y\mapsto x$, où x est l'unique antécédent de y par f. C'est aussi une bijection, dite réciproque de f.

(l'exemple vu plus haut montre qu'il n'existe aucune application surjective $f:E\to \mathcal{P}(E)$).