Image réciproque

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L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application $f : X \to Y$ est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : $f^{- 1} (B) = {x \in X / f (x) \in B}$ .

Exemple : Considérons l'application $f : {1, 2, 3} \to {a, b, c, d}$ , définie par

1 \mapsto a, 2 \mapsto c, 3 \mapsto d

L'image réciproque de {a,b} par f est f ({a,b}) = {1}.

Notons qu'avec cette définition, f devient une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble de toutes les parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : Lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette opération sur les parties avec l'application réciproque f_-1. Fort heureusement, l'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par f.

Propriétés élémentaires

Pour toutes parties B₁ et B₂ de Y,

$f^{- 1} (B_{1} \cup B_{2}) = f^{- 1} (B_{1}) \cup f^{- 1} (B_{2})$ .

$f^{- 1} (B_{1} \cap B_{2}) = f^{- 1} (B_{1}) \cap f^{- 1} (B_{2})$ .

pour toute partie B de Y, $f (f^{- 1} (B)) \subset B$ .

\forall B \subset Y, f (f^{- 1} (B)) = B \Leftrightarrow f s u r j ec t i v e

pour toute partie A de X, $A \subset f^{- 1} (f (A))$

\forall A \subset X, A = f^{- 1} (f (A)) \Leftrightarrow f i nj ec t i v e

pour toutes parties A et B de Y,

f^{- 1} (A \ B) = f^{- 1} (A) \ f^{- 1} (B)

Pour toute famille $(B_{i})_{i \in I}$ de parties de Y,

f^{- 1} (i \in I ⋂ B_{i}) = i \in I ⋂ f^{- 1} (B_{i})

f^{- 1} (i \in I ⋃ B_{i}) = i \in I ⋃ f^{- 1} (B_{i})

Nous disons en général qu' « avec l'image réciproque tout est possible ».