Application identité

En mathématiques, sur un ensemble X donné, la fonction identité est la fonction, notée id qui à tout élément x de X associe lui-même :

$\forall x\in X,f(x)=x\in X$.

Le graphe de la fonction id est appelée la diagonale de l'espace produit X×X.

Pour X=R, l'ensemble des nombres réels, le graphe est la première bissectrice du plan euclidien.

L'application identité sur X est notée id, id_X , Id ou encore Id_X .

Elle est parfois notée 1_X , mais cette dernière notation peut prêter à confusion avec l'indicatrice d'une partie A d'un ensemble X.

Pour toute application d'un ensemble X dans un ensemble Y, on a :

.

En particulier, l'application identité est l'élément neutre du monoïde des applications de X dans lui-même.

L'application identité est une bijection de X dans lui-même.

L'ensemble des bijections d'un ensemble X dans lui-même, muni de la composition de fonctions, constitue un groupe (appelée groupe symétrique) non vide, dont l'application identité est l'élément neutre.

En topologie

L'application identité permet de comparer deux topologies : Soient deux topologies T et T' définies sur un même ensemble E. Si l'application identité de (E,T) dans (E,T') est continue, on dit que la topologie T est plus fine que T'.