Carré (algèbre)

En algèbre, le carré d'un nombre correspond à la puissance 2 de ce nombres, c’est-à-dire au résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même.

Exemples :

• « 5 au carré » signifie 5 multiplié par 5 : 5² = 5 × 5 = 25.
• 1,5 et -1,5 ont le même carré, à savoir 2,25.
• Le carré d'un nombre réel est toujours un réel positif ou nul.
• Les nombres complexes ont été définis afin que -1 puisse être considéré comme un carré.

Un kilomètre carré est une unité de mesure de surface, correspondant à la superficie occupée par un carré dont les côtés mesurent chacun un kilomètre.

Soit un nombre x. Un nombre dont le carré correspond à x est appelé racine carrée de x.

L'ensemble des nombres entiers naturels peut être élevé au carré : on obtient ainsi les « carrés parfaits ». Par exemple, 3² = 3 × 3 = 9 est un carré parfait. Les dix premiers carrés parfaits sont : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100.

La somme des n premiers nombres naturels impairs vaut le carré de n :

• 1 + 3 = 2²
• 1 + 3 + 5 = 3²
• 1 + 3 + 5 + 7 = 4² , etc.

Tout nombre entier naturel est la somme d'au plus quatre carrés. C'est la conjecture de Waring, démontrée par Lagrange en 1770.