Conjugué

En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée.

Le conjugué d'un nombre complexe $z=a+bi$, où a et b sont réels, est $\bar{z}=a-bi$ (lu « z barre ») mais est très souvent noté aussi z * ,

Dans le plan, le point d'affixe $\bar{z}$ est le symétrique du point d'affixe $z$ par rapport à l'axe des abscisses.

Le module du conjugué reste inchangé.

On peut définir une application, appelée conjugaison, par

La conjugaison est une opération linéaire qui est de plus continue. C'est de plus un automorphisme de corps de $\mathbb{C}$ dans lui-même.

On prend $(z,w)\in {\mathbb{C}}^2$.

• $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$
• $\overline{zw}=\bar{z}\times \bar{w}$
• $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}$ si $w$ est non nul
• si $\mathrm{Im}\left(z\right)=0$ alors $\bar{z}=z$
• $\left|\bar{z}\right|=\left|z\right|$
• $z\overline{z}={\left|z\right|}^2$
• $z^{-1}=\frac{\overline{z}}{{|z|}^2}$ pour z non-nul.

Le conjugué du quaternion $q=a+bi+cj+dk$ est $q^{\ast }=a-bi-cj-dk$.

Propriété

• $$q\cdot q^{\ast }=a^2+b^2+c^2+d^2$$

• $$\frac{1}{q}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\cdot q^{\ast }$$

• On peut calculer aisément l'inverse d'un quaternion en utilisant les propriétés du quaternion conjugué.