Constantes mathématiques (représentées en fraction continuée)

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Voici une table de constantes mathématiques exprimées par leurs notations et par leurs représentations en fraction continue :

(Constantes connues comme étant irrationnelles avec un développement en fraction continue infini : leur dernier terme est ....)

Nom	Ensemble de nombres	Définition ou valeur approchée	Représentations en fraction continue
Λ		> – 2,7 · 10
1/2	$Q$	$1/2$	$[0; 2]$
C₂		$C_{2} = \prod_{p \geq 3} \frac{p ( p - 2 )}{( p - 1 ) ^{2}}$	$C_{2} = [0; 1, 1, 1, 16, 2, 2, 2, 2, 1, 18, 2, 2, 11, 1, 1, 2, 4, 1, 16, 3, 2, 4, 21, 2, 405, 2, 1, 33, 1, 1] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}$
γ		$γ = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - ln (n))$ où ln représente le logarithme népérien.	$γ = [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, ...] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \dots}}}$
β		$x_{n + 1} = x_{n} \pm β x_{n - 1}$ dégénère exponentiellement quand $n \to \infty$ avec une probabilité 1.	$β^{*} = [0; 1, 2, 2, 1, 3, 5, 1, 2, 6, 1, 1, 5] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + \dots}}}$
K	$R \ Q$ ?	$lim_{x \to \infty} \frac{N ( x ) l n ( x )}{x}$ où N(x) est le nombre d'entiers positifs inférieurs à x qui sont la somme de deux carrés.	$K = [0; 1, 3, 4, 6, 1, 15, 1, 2, 2, 3, 1, 23, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 2, 3, 3, 18, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 6] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{3}{1 + \frac{4}{1 + \dots}}}$
B₄		$B_{4} = (\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}) + (\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}) + (\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}) + \dots$	$B_{4} = [0; 1, 6, 1, 2, 1, 2, 956, 8, 1, 1, 1, 23] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{6}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}$
K		$K = \frac{1}{1 ^{2}} - \frac{1}{3 ^{2}} + \frac{1}{5 ^{2}} - \frac{1}{7 ^{2}} + ...$	$K = [0; 1, 10, 1, 8, 1, 88, 4, 1, 1, 7, 22, 1, 2, 3, 26, 1, 11, 1, 10, 1, 9, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{10}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}$
M₁		$M = lim_{n \to \infty} (\sum_{p \leq n} \frac{1}{p} - ln (ln (n))) = γ + \sum_{p} [ln (1 - \frac{1}{p}) + \frac{1}{p}]$	$M_{1} = [0; 3, 1, 4, 1, 2, 5, 2, 1, 1, 1, 1, 13, 4, 2, 4, 2, 1, 33, 296, 2, 1, 5, 19, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1] = 0 + \frac{3}{1 + \frac{1}{1 + \frac{4}{1 + \dots}}}$
$1$	$N$	$1$	[1;]
Nombre d'or (phi)	$\overline{Q}$	$ϕ = \frac{5 + 1}{2}$	$ϕ = [1; 1, 1, 1, ...] = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}$
E_B		$E = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 ^{n} - 1}$	$E_{B} = [1; 1, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 2, 29, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 6, 1, 7, 1, 6, 2, 1, 1, 1, 20, 1, 3, 1, 1, 1, ...] = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}$
B₂		$B_{2} = (\frac{1}{3} + \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{7}) + (\frac{1}{11} + \frac{1}{13}) + (\frac{1}{17} + \frac{1}{19}) + (\frac{1}{29} + \frac{1}{31}) + \dots$	$B_{2} = [1; 1, 9, 4, 1, 1, 8, 3, 4, 7, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 12, 4, 2, 1, 2, 2] = 1 + \frac{1}{1 + \frac{9}{1 + \frac{4}{1 + \dots}}}$
K		$n ∣ f_{n} ∣ \to 1, 13198824 \dots [t y p e = e mb e dd e d - d e f ini t i o n] q u an d n \to \infty.$ où f_n est une suite de Fibonacci aléatoire	$K = [1; 7, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 17, 1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2] = 1 + \frac{7}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}$
√2	$R \ Q$	$2$	$2 = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...] = 1 + \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + \dots}}}$
μ		Unique zéro positif de la fonction $l i (x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{l n ( t )} .$	$μ = [1; 2, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 47, 2, 4, 1, 12, 1, 1, 2, 2, 1, 7, 2, 1, 1, 1, 2, 30, 6, 3, 6] = 1 + \frac{2}{1 + \frac{4}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}$
α		≈ 2,502 907 875 095 892 822 283 902 873 218 215 78	$α = [2; 1, 1, 85, 2, 8, 1, 10, 16, 3, 8, 9, 2, 1, 40, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 17, 1, 1, 5, 3, 2, 6, 3, 5, 1] = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{85}{1 + \dots}}}$
e		$e = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n}$	$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, 18, 1, 1, 20, 1, ...] = 2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}$
K_h		Pour : $x = a_{0} + \frac{1}{a _{1} + \frac{1}{a _{2} + \frac{1}{a _{3} + ...}}}$ , il est presque toujours vrai que $lim_{n \to \infty} (\prod_{i = 1}^{n} a_{i})^{1/ n} = K \approx 2, 6854520010 \dots$	$K_{h} = [2; 1, 2, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 10, 2, 1, 3, 2, 24, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 1, 90] = 2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{5}{1 + \dots}}}$
3	$N$	$3$	$[3;]$
π		Produit de Wallis : $\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \dots = \frac{π}{2}$	$π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, ...] = 3 + \frac{7}{1 + \frac{15}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}$
4	$N$	$4$	$[4;]$
δ		≈ 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 61	$δ = [4; 1, 2, 43, 2, 163, 2, 3, 1, 1, 2, 5, 1, 2, 3, 80, 2, 5, 2, 1, 1, 1, 33, 1, 1, 53, 1, 1, 1, 1, 1] = 4 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{43}{1 + \dots}}}$