Dans une démonstration directe, pour montrer que , on commence par supposer que P est vraie, et on en déduit qu'alors Q doit nécessairement être vraie.
Ce type de raisonnement s'oppose au raisonnement par contraposition, dans lequel on part de l'hypothèse que Q est fausse, et où on cherche à montrer que dans ce cas P doit être fausse elle aussi.
On cherche à montrer que si n est impair alors n est impair.
On pose donc donc P : « l'entier n est impair » et Q : « l'entier n est impair ».
On prend l'hypothèse que P est vraie et on veut montrer que Q doit être vraie.
n est impair, donc ceci implique (définition d'impair) que n = 2k + 1 où k appartient à .
Alors, n = (2k + 1)(2k + 1) = 4k + 4k + 1 = 2(2k + 2k) + 1 = 2t + 1 où t = 2k + 2k est un entier.
Conclusion : 2t + 1 est impair donc n est impair.