Dérivée

La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le rapport entre les variations infinitésimales de la fonction et les variations infinitésimales de son argument. Par exemple, la vitesse est la dérivée du déplacement par rapport au temps, et l'accélération est la dérivée, par rapport au temps, de la vitesse.

La notion de dérivée a vu le jour au XVII siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui la nomme fluxion et qui la définit comme

«  le quotient ultime de deux accroissements évanescents.  » 

La dérivée de la fonction $f$ est notée en mathématique $f^{\prime }$, Les physiciens préfèrent la notation $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ qui a l'avantage de rappeler le nom de l'argument, mais on rencontre aussi la notation $\dot{f}$ qui s'utilise dans le cas où l'argument est t, le paramètre correspondant au temps.

La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse fonctionnelle. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe et de résoudre des problèmes d'optimisation.

Pour approcher cette notion de manière intuitive, commençons par nous donner une courbe représentative d'une fonction dans un repère cartésien, continue, c'est-à-dire tracée d'un seul trait de crayon, et bien « lisse », on dira là que la fonction associée est dérivable.

Quel que soit le point que l'on choisit sur la courbe, on pourra alors tracer ce qu'on appelle une tangente, c'est-à-dire une droite qui épouse localement la direction de cette courbe. Concrètement, si l'on trace la courbe et sa tangente et que l'on s'approche en zoomant suffisamment, on aura de plus en plus de mal à distinguer la courbe de sa tangente. On comprend aisément que si la courbe « monte » (ie si la fonction associée est croissante), la tangente sera également montante ; inversement, si la fonction est décroissante, la tangente sera descendante. Si on se donne une abscisse x₀ pour laquelle la fonction f est dérivable, on appelle nombre dérivé de f en x₀ le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x₀. Ce réel donne de précieuses informations sur le comportement local d'une fonction : c'est la mesure algébrique de la vitesse à laquelle cette fonction change lorsque sa variable change. Pour une fonction à plusieurs variables, on parle de la dérivée partielle par rapport à l'une de ses variables.

Ainsi, si le nombre dérivé d'une fonction est positif sur un intervalle, cette fonction sera croissante sur ce même intervalle. Inversement, s'il est négatif, elle sera décroissante. Lorsque le nombre dérivé est nul en un point, la courbe admet une tangente horizontale en ce point.

Dans l'exemple ci-contre : en 0, la courbe descend, donc le nombre dérivé y est négatif (il vaut -1) en 1, la courbe descend toujours, mais la pente y est moindre (-0,5). en 2, la courbe est parfaitement horizontale, donc la dérivée est nulle (0). en 3, la courbe monte, donc le nombre dérivé y est positif (0,5).

Dès la seconde moitié du XVII siècle, le domaine mathématique de l'analyse numérique connut une avancée prodigieuse grâce aux travaux de Newton et de Leibniz en matière de calcul différentiel et intégral, traitant notamment de la notion d'infiniment petit et de son rapport avec les sommes dites intégrales.

C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la première moitié du siècle, a le premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les appelait « touchantes »; le marquis de l'Hospital participera aussi à la fin du à étoffer cette nouvelle théorie, notamment en utilisant la dérivée pour calculer une limite dans le cas de formes indéterminées particulières (cf. Règle de L'Hôpital). Wallis, mathématicien anglais (surtout connu pour la suite d'intégrales qui porte son nom) contribua également à l'essor de l'analyse différentielle.

Néanmoins cette théorie tout juste éclose n'est pas encore pourvue de toute la rigueur mathématique qu'elle aurait exigée, et notamment la notion d'infiniment petit introduite par Newton, qui tient plus de l'intuitif, et qui pourrait engendrer des erreurs dès lors que l'on ne s'entend pas bien sur ce qui est ou non négligeable. C'est au XVIII siècle que d'Alembert introduit la définition plus rigoureuse du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement - sous une forme semblable à celle qui est utilisée et enseignée de nos jours. Cependant, à l'époque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui cette fois-ci pose problème : $\mathbb{R}$ n'est pas encore construit formellement (voir à ce sujet l'article sur les nombres réels et l'article détaillé sur leur construction) et c'est seulement avec les travaux de Weierstraß au milieu du XIX siècle que le concept de dérivée sera entièrement formalisé.

C'est au passage à Lagrange (fin du siècle) que l'on doit la notation $f^{\prime }\left(x\right)$, aujourd'hui tout à fait usuelle, pour désigner le nombre dérivé de f en x.

Soit f une fonction réelle à valeurs réelles définie sur une réunion quelconque d'intervalles non triviaux, et x₀ appartenant à l'intérieur de l'ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$.

Pour tout $h\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ tel que $[x_0,x_0+h]\subset {\mathcal{D}}_f$, on appelle taux d'accroissement de f en x₀ et avec un pas de h la quantité :

Il s'agit du coefficient directeur de la droite reliant les points de coordonnées (x₀,f(x₀)) et (x₀ + h,f(x₀ + h)). Si $t_{x_0}(h)$ admet une limite finie lorsque h tend vers 0, on dit que f est dérivable en x₀, auquel cas le nombre dérivé de f en x₀ est égal à la limite de ce taux d'accroissement. On note alors :

Ou, de manière équivalente :

Une fonction pour laquelle le taux d'accroissement en un point admet une limite (qui est le nombre dérivé) est dite dérivable en ce point.

Ce calcul de limite revient graphiquement à rechercher la tangente à la courbe en ce point. Ainsi, le nombre dérivé d'une fonction en un point, s'il existe, est égal à la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point.

La dérivation peut aussi être définie pour des fonctions d'une variable réelle à valeurs dans d'autres ensembles que $\mathbb{R}$.

Par exemple, une fonction f d'une variable réelle, à valeurs dans ${\mathbb{R}}^n$, est dérivable en x₀ si et seulement si toutes ses coordonnées sont dérivables en x₀ ; et sa dérivée est la fonction dont les coordonnées sont les dérivées des coordonnées de f. C'est un cas particulier de fonctions de variable vectorielle et à valeur dans un espace vectoriel normé ou métrique.

La dérivabilité est a priori une notion locale (dérivabilité en un point), mais si une fonction est dérivable en tout point d'un intervalle, on peut définir sa fonction dérivée sur l'intervalle en question. La fonction dérivée de f, notée $f^{\prime }$ (prononcer « f prime ») - ou $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$, voire $\dot{f}$ (en sciences physiques ou industrielles), est définie sur ${\mathfrak{D}}_f$ et le domaine de dérivabilité de $f$ (ensemble des points de $\mathbb{R}$ en lesquels f est dérivable) est défini par :

C'est la fonction qui prend en tout point de ${\mathfrak{D}}_f$ la valeur du nombre dérivé de $f$ en ce point.

Ainsi, lorsque la fonction dérivable f est croissante, la fonction dérivée $f^{\prime }$ est positive. $f^{\prime }$ s'annule aux points où f admet des tangentes horizontales.

Les fonctions dérivées sont utilisées notamment dans l'étude des fonctions réelles et dans les équations différentielles. Une fonction qui est égale à sa dérivée est dite exponentielle (celle-ci est solution de y' = y, cf. article détaillé).

Il existe différentes notations pour exprimer la dérivée d'une fonction. On distingue :

• La notation de Lagrange :

• La notation de Leibniz :

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ qui équivaut, plus rigoureusement, à $\frac{\mathrm{d}\left(f(x)\right)}{\mathrm{d}x}$

• La notation d'Isaac Newton :

$\dot{x}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=x^{\prime }(t)$ qui est plutôt utilisée en physique.

• Enfin, la notation d'Euler :

$f^{\prime }$ peut souvent se calculer directement à partir d'une expression de $f$, lorsqu'il s'agit d'une fonction « simple », en utilisant la tables des dérivées usuelles. Pour des fonctions qui s'expriment comme combinaison linéaire de fonctions simples, comme produit, quotient ou composée, on utilise un petit nombre de règles algébriques déduites de la définition donnée plus haut. Les règles les plus couramment utilisées sont les suivantes :

En particulier, voici les règles courantes se déduisant de la dérivée de composées :

Précisons que dans ce dernier tableau, la composée des fonctions g et f n'a pas été notée $g\circ f$ comme il conviendrait mais g(f). Ces notations peuvent porter à confusion mais sont bien commodes pour retenir les formules et les appliquer.

Théorème des accroissements finis

Énoncé

Si une fonction ƒ est continue sur un intervalle [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors il existe un point x₀ de ]a,b[ tels que la dérivée en ce point est le taux de variation entre a et b

Démonstration

On commence par démontrer ceci lorsque ƒ(a) = ƒ(b) : la fonction n'est pas strictement monotone, donc soit la fonction est une droite horizontale et la propriété est valable en tout point, soit la fonction présente un maximum ou un minimum et donc sa dérivée s'annule en un point.

Pour une fonction quelconque, on se ramène au cas précédent en soustrayant la fonction

alors (ƒ-g)(b) = (ƒ-g)(a) = ƒ(a) et l'on applique la linéarité de la dérivée.

Cette propriété est utilisée en cinématique pour déterminer une approximation du vecteur vitesse à partir d'un relevé de point.

Dérivation de la réciproque d'une fonction

Soit $f$ une fonction dérivable et strictement monotone de l'intervalle $\mathcal{I}$ sur l'intervalle $\mathcal{J}=f(\mathcal{I})$ et si $f^{\prime }$ ne s'annule par sur $\mathcal{I}$, alors la fonction $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathcal{J}$ et:

Démonstration:

Montrons que $f^{-1}$ dérivable en $b=f(a)$ . En supposant $f^{\prime }(a)\ne 0$, montrons que ${\lim }_{y\to b}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}=\frac{1}{f^{\prime }(a)}$.

La fonction $f$ étant dérivable en $a$, on a:

Comme $f^{-1}$ est continue en $b$, le théorème de composition des limites donne:

Cette limite étant non nulle, d'après le théorème sur l'inverse d'une limite, on a :

Ou encore : $(f^{-1}{)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(b))}$

Dérivées de la réciproque des fonctions trigonométriques

On utilise le résultat précédent pour établir :

• Si $f(x)=\mathrm{Arcsin}(x)$, alors $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• Si $f(x)=\mathrm{Arcsin}(\phi (x))$, alors $f^{\prime }(x)=\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\sqrt{1-\phi (x{)}^2}}$
• Si $f(x)=\mathrm{Arccos}(x)$, alors $f^{\prime }(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
• Si $f(x)=\mathrm{Arccos}(\phi (x))$, alors $f^{\prime }(x)=\frac{-{\phi }^{\prime }(x)}{\sqrt{1-\phi (x{)}^2}}$
• Si , alors $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$
• Si $f(x)=\mathrm{Arctan}(\phi (x))$, alors $f^{\prime }(x)=\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{1+\phi (x{)}^2}$

$\phi$ désigne une fonction dérivable à valeur dans le domaine de dérivabilité de la fonction considérée.

On définit la dérivée d'ordre n pour une fonction n fois dérivable par récurrence :

$\frac{{\mathrm{d}}^{n}f}{\mathrm{d}{x}^n}$ est également notée $f^{(n)}$.

Formule de Leibniz

Si f,g sont des fonctions n fois dérivables, alors :

$(fg{)}^{(n)}={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}{g}^{(n-k)}$.

En particulier pour n = 2,

$(fg{)}^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }g+2f^{\prime }{g}^{\prime }+f{g}^{\prime \prime }$.

On notera l'analogie avec la formule du binôme de Newton.

Notation de Leibniz

En trouvant les valeurs de x où la dérivée vaut 0 ou n'existe pas, on trouve les nombres critiques de la fonction. Les nombres critiques de f permettent de trouver implicitement ses maximums et ses minimums. À effectuer le test de la dérivée première, on construit un tableau de variation ; si le signe de la fonction dérivée passe du plus au moins devant un nombre critique, on a un maximum et si le signe de la fonction dérivée passe du moins au plus devant le nombre critique, on a un minimum. De plus, lorsque le signe de la dérivée première est positif, la fonction monte ; s'il est négatif, elle descend. On ne conclut rien, si au point critique la fonction ne change pas de signe. En dérivant la dérivée première, on a la dérivée seconde. À effectuer le test de la dérivée seconde, on trouve les nombres critiques de la dérivée première pour les placer dans le même tableau ; lorsqu'on observe un changement de signe de la dérivée seconde devant ce ou ces nombres critiques, on dit qu'on a un (ou des) point(s) d'inflexion. Les points d'inflexion marquent un changement de la concavité de la fonction. Un signe positif de la dérivée seconde signifie que la fonction est concave vers le haut et un signe négatif de la dérivée seconde signifie que la fonction est concave vers le bas. Connaissant les changements de concavité et les extrema de la fonction, on peut alors tracer une esquisse du graphique.

Méthode pour optimiser un rendement à l'aide du calcul différentiel:

1. Mathématisation

• Définitions et dessin : on définit les variables inconnues et on les représente sur un schéma.
• Écrire la fonction objectif à deux variables et préciser si on recherche un maximum ou un minimum dans la situation donnée.
• Trouver la relation entre les deux variables.
• Écrire la fonction objectif à une variable et préciser le domaine de la fonction.

1. Analyse

• Dériver la fonction pour obtenir la dérivée première.
• Trouver les nombres critiques de la fonction, où la dérivée première vaut zéro ou n'existe pas dans les intervalles du domaine.
• Effectuer le test de la dérivée première ou le test de la dérivée seconde pour déterminer le maximum ou le minimum recherché de la situation.

1. On formule la réponse de façon concise par rapport à la question.

Une fois que l'on a déterminé les asymptotes de la fonction, on peut les noter dans le tableau de variation pour tracer adéquatement l'esquisse du graphique.