En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle, étend le concept de la différentielle d'une fonction aux formes différentielles de plus haut degré. Elle est importante dans la théorie d'intégration des variétés, et elle est la différentielle employée pour définir la cohomologie de De Rham et de Alexander-Spanier. Sa forme actuelle fut inventée par Élie Cartan.
La dérivée extérieure d'une forme différentielle de degré k est une forme différentielle de degré k + 1.
Pour ω = fI dxI de forme k sur R, la définition est la suivante:
Pour les formes k générales: ΣI fI dxI (où le multi-indice I dépasse tous les sous-ensembles ordonnés de {1, ..., n} de cardinalité k), nous ne faisons qu'étendre linéairement. Notez que si i = I ci-dessus alors (voir produit extérieur).
La différentiation extérieure satisfait trois propriétés importantes:
la linéarité
la règle du produit extérieur (voir antidérivation)
et d = 0, une formule codifiant l'égalité des dérivées partielles mixtes, tel que
Il peut être montré que cette dérivée extérieure est uniquement déterminée par ces propriétés et son accord avec la différentielle sur les formes 0 (fonctions).
Le noyau de d contient les formes closes, et l'image des formes exactes (cf. différentielle exacte).
Étant donné ω de forme k et des champs vectoriels arbitraires lisses V0,V1, …, Vk nous avons
où dénote le crochet de Lie et
En particulier, pour les formes 1 nous avons:
dω(X,Y) = X(ω(Y)) − Y(ω(X)) − ω([X,Y]).