Cohomologie de De Rham

En mathématiques, la cohomologie de de Rham est un outil de topologie différentielle, c'est-à-dire adapté à l'étude des variétés différentielles. Il s'agit d'une théorie cohomologique basée sur des propriétés algébriques des espaces de formes différentielles sur la variété. Elle porte le nom du mathématicien Georges de Rham. Le théorème de de Rham affirme que la cohomologie de de Rham d'une variété différentielle est la cohomologie à coefficients réels de l'espace topologique sous-jacent.

Soit M une variété différentielle, et Ω(M) l'ensemble des formes différentielles ω de degré p sur M. Cet ensemble a une structure de fibré vectoriel sur M.

Soit d l'opérateur de différentiation extérieure sur les formes différentielles de degré p :

qui associe à la forme différentielle ω de degré p sa dérivée extérieure dω, forme différentielle de degré p + 1.

On note dω la dérivée extérieure de ω quand on ne veut pas préciser son degré; il faut alors sous-entendre dω où p est le degré de ω.

Formes fermées, formes exactes

Lorsque dω = 0, on dit que la forme différentielle ω est fermée.

Lorsque ω = dα, on dit que la forme différentielle ω est exacte.

On a pour tout p la relation$d^p\circ d^{p-1}=0$. On en déduit le :

Théorème — Toute forme différentielle exacte est fermée.

Le lemme de Poincaré permet de montrer que la réciproque est vraie localement :

Lemme de Poincaré — Toute forme différentielle fermée est localement exacte.

Plus précisément pour toute forme fermée définie sur un ouvert U de M contenant x, il existe un voisinage de x contenu dans U sur lequel la restriction de la forme est exacte.

En effet si $M\subset R^n$ est un ouvert étoilé, ou un ouvert difféomorphe à un ouvert étoilé, un calcul montre que toute forme fermée est exacte. Maintenant si M est quelconque tout point admet un voisinage difféomorphe à une boule et on est ramené au cas précédent.

U n lemme de Poincaré global n'existe pas. Par exemple, sur le plan ${\mathbb{R}}^2$ privé de l'origine, la forme $\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}$ est fermée, mais non exacte.

Dans le cas général, le p-ème groupe de cohomologie de de Rham mesure l'obstruction pour une forme fermée à être exacte.

Notations

• Z(M) l'espace des p-formes fermées.
• B(M) le sous-espace des p-formes exactes.

Définition  : groupes de cohomologie (de de Rham)

On définit le p-ème groupe de cohomologie de De Rham H(M) comme étant l'espace quotient de Z(M) par B(M) :

c'est-à-dire l'espace des p-formes fermées modulo le sous-espace des p-formes exactes.

Exemples

• $H^0(M)\simeq {\mathbb{R}}^c$, où c désigne le nombre de composantes connexes de M.
• Si M est une variété lisse compacte connexe et orientable de dimension n, alors H(M) est de dimension 1.
• Si M., n'est pas orientable (les autres hypothèses restant les mêmes), H(M) = 0
• H(S) = 0 pour 0 < k < n