Droite de Henry

La droite de Henry est une méthode pour visualiser les chances qu'a une distribution d'être gaussienne. Elle permet de lire rapidement la moyenne et l'écart type d'une telle distribution.

Si X est une variable gaussienne de moyenne $\overline{x}$ et de variance σ et si N est une variable de loi normale centrée réduite, on a les égalités suivantes :

$P(X<x)=P\left(\frac{X-\overline{x}}{\sigma }<\frac{x-\overline{x}}{\sigma }\right)=P(N<t)=\Phi (t)$, avec $t=\frac{x-\overline{x}}{\sigma }$

(on note Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite).

Pour chaque valeur x_i de la variable X, on peut (à l'aide d'une table de la fonction Φ) :

• calculer P(X < x_i)
• en déduire t_i tel que Φ(t_i) = P(X < x_i)

Si la variable est gaussienne, les points de coordonnées (x_i ; t_i) sont alignés sur la droite d'équation $t=\frac{x-\overline{x}}{\sigma }$.

Lors d'un examen noté sur 20, on obtient les résultats suivants :

• 10% des candidats ont obtenu moins de 4
• 30% des candidats ont obtenu moins de 8
• 60% des candidats ont obtenu moins de 12
• 80% des candidats ont obtenu moins de 16

On cherche à déterminer si la distribution des notes est gaussienne, et, si oui, ce que valent son espérance et son écart type.

On connaît donc 4 valeurs x_i, et, pour ces 4 valeurs, on connaît P(X < x_i).

En utilisant la table wikisource : Table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on détermine les t_i correspondants :

Il suffit alors de tracer les points de coordonnées (x_i ; t_i).

Les points paraissent alignés ; la droite coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 11 et le coefficient directeur est (0,84 +1,28)/12 environ, ce qui donnerait un écart type de 12/2,12 = 5,7.

Cela laisse penser que la distribution est gaussienne de paramètres m, σ, où m = 11 et σ = 5,7.