Ensemble de Mandelbrot

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Introduction

L'ensemble de Mandelbrot est une fractale qui est définie comme l'ensemble des points c du plan complexe pour lesquels la suite récurrente définie par :

Représentation de l'ensemble de Mandelbrot — L'ensemble de Mandelbrot (en noir)

Zoom sur une partie de la représentation — Zoom sur une partie de l'ensemble. On remarque l'autosimilarité des structures.

z_n+1 = z_n + c

et la condition z₀ = 0

ne tend pas vers l'infini (en module).

Si nous reformulons cela sans utiliser les nombres complexes, en remplaçant z_n par le couple (x_n, y_n) et c par le couple (a, b), alors nous obtenons:

x_n+1 = x_n - y_n + a

y_n+1 = 2x_ny_n + b.

L'ensemble de Mandelbrot a été créé par Benoît Mandelbrot et permet d'indicer les ensembles de Julia : à chaque point du plan complexe correspond un ensemble de Julia différent; ces points de l'ensemble de Mandelbrot correspondent précisément aux ensembles de Julia connexes, et ceux en dehors correspondent aux ensembles de Julia non connexes.

Dessiner l'ensemble

Visualisation de l'ensemble de Mandelbrot par la méthode Buddhabrot — Méthode Buddhabrot

Plan tiré d'une vidéo d'un agrandissement progressif de l'ensemble de Mandelbrot — Vue fixe d'une vidéo d'agrandissement progressif sur 0.001643721971153 + 0.822467633298876i

Il peut être démontré que dès que le module de z_n est strictement plus grand que 2 (z_n étant sous forme algébrique, quand x_n + y_n> 2), la suite diverge vers l'infini, et donc c est en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Cela nous permet d'arrêter le calcul pour les points ayant un module strictement supérieur à 2 et qui sont donc en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Pour les points de l'ensemble de Mandelbrot, i.e. les nombres complexes c pour lesquels z _n ne tend pas vers l'infini, le calcul n'arrivera jamais à terme, donc il doit être arrêté après un certain nombre d'itérations déterminé par le programme. Il en résulte que l'image affichée n'est qu'une approximation du vrai ensemble.

Bien que cela n'ait aucune importance sur le plan mathématique, la plupart des programmes générant des fractales affichent les points en dehors de l'ensemble de Mandelbrot dans différentes couleurs. La couleur attribuée à un point n'appartenant pas à l'ensemble dépend du nombre d'itérations au bout desquelles la suite correspondante est déclarée divergente vers l'infini (par exemple quand le module est strictement supérieur à deux). Cela donne plusieurs zones concentriques, qui entourent l'ensemble de Mandelbrot. Les plus éloignées sont constituées de points c pour lesquels la suite (z_n) tend « plus rapidement » vers l'infini. Ces différentes zones délimitent d'une manière plus ou moins précise l'ensemble de Mandelbrot.

Structures remarquables

La principale structure remarquable est la cardioïde centrale, de centre $A (\frac{1}{4}, 0)$ et d'équation polaire $\rho(\theta) = \frac{1}{2}\left (1 - \cos \theta \right ). \$

On peut aussi citer le cercle de centre B( − 1;0) et de rayon $\frac{1}{4}$ .

Quelques propriétés

L'ensemble $M$ de Mandelbrot est une partie du plan complexe (incluse dans le disque fermé de centre $0$ et de rayon $2$ ) qui est compacte, connexe, d'intérieur non vide, symétrique par rapport à l'axe réel et dont l'intersection avec l'axe réel est le segment $[- 2, \frac{1}{4}] .$

En outre, le complémentaire de l'ensemble de Mandelbrot est conformément isomorphe au complémentaire dans $C$ du disque unité.

On conjecture que l'ensemble de Mandelbrot est localement connexe.

Logiciels générateurs de fractales

Une représentation de l'ensemble de Mandelbrot — L'ensemble de Mandelbrot (en noir)

Fractint (propriétaire - porté sur de nombreuses plates-formes)
ChaosPro - (propriétaire - pour Windows)
XaoS (Logiciel Libre - Licence GPL, pour Windows, Mac OS X, Linux et systèmes type Unix)
Gecif
Gnofract 4D - (puissant et rapide - pour Linux, FreeBSD ou Mac OS X)