Fonction diviseur

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En mathématiques, la fonction diviseur σ_a(n) est définie comme la somme des a-ièmes puissances des diviseurs de n, où

σ_{a} (n) = d ∣ n \sum d^{a}

La notation d(n) est aussi utilisée pour noter σ₀(n), ou le nombre de diviseurs de n. La fonction sigma σ(n) est

$σ_{1} (n) = \sum d$ .

Par exemple si p est un nombre premier,

σ (p) = p + 1

car, par définition, les facteurs d'un nombre premiers sont 1 et lui-même.

Généralement, la fonction diviseur est multiplicative, mais n'est pas complètement multiplicative.

La conséquence de ceci, si nous écrivons

n = i = 1 \prod r p_{i}^{α_{i}}

alors nous avons

σ (n) = i = 1 \prod r \frac{p _{i}^{α_{i} + 1} - 1}{p _{i} - 1}

Nous notons aussi

$s (n) = σ (n) - n$ .

Cette fonction est utilisée pour reconnaître les nombres parfaits qui ont, pour n

$s (n) = n$ .

Par exemple, pour deux nombres premiers distincts p et q, soit

n = pq

Alors

ϕ (n) = (p - 1) (q - 1) = n + 1 - (p + q)

σ (n) = (p + 1) (q + 1) = n + 1 + (p + q)

Deux séries de Dirichlet impliquant la fonction diviseur sont :

n = 1 \sum \infty \frac{σ _{a} ( n )}{n ^{s}} = ζ (s) ζ (s - a)

et

n = 1 \sum \infty \frac{σ _{a} ( n ) σ _{b} ( n )}{n ^{s}} = \frac{ζ ( s ) ζ ( s - a ) ζ ( s - b ) ζ ( s - a - b )}{ζ ( 2 s - a - b )}