Cette relation a fortement marqué les esprits car elle montre que, du fait de l'énormité du facteur c, une masse même petite à l'échelle humaine (par exemple 1 gramme) possède une quantité considérable d'énergie (environ 10 joules pour une masse d'un gramme). Cependant, il faut se méfier des conversions directes : d'autres lois (conservation de la charge, du nombre baryonique...) montrent qu'on ne peut espérer convertir arbitrairement la matière en énergie suivant cette formule (on peut convertir en énergie une quantité égale de matière et d'antimatière).
Historique
C'est avec le dernier des articles publiés lors de son annus mirabilis qu'Einstein exprime pour la première fois ce qui deviendra son équation célèbre : « Si un corps perd une énergie L sous forme de rayonnement, sa masse diminue de L/c ».
Dans ce texte, il produit une première démonstration pour le cas général de ce principe d'équivalence qui jusque-là n'avait été démontré que dans des cas particuliers. Il en proposera par la suite deux autres, en 1934 et en 1946 .
L'équation E=mc fait partie des apports que certains contestent à Einstein dans le cadre de la controverse sur la paternité de la relativité.
Illustrations
En mécanique newtonienne, l'énergie d'une particule isolée provient de sa vitesse et se manifeste sous forme d'énergie cinétique. Au contraire, d'une façon inattendue à l'époque de sa découverte, E = mc exprime qu'une particule de masse m possède intrinsèquement une énergie E, même si elle est au repos. Elle stipule que la masse est une forme d’énergie comme le sont l’énergie potentielle ou l’énergie cinétique. L’énergie d’un corps devient donc la somme de son énergie cinétique et de sa masse.
Cette équivalence entre masse et énergie ouvre un éventail de possibilités inconnues de la physique pré-relativiste. En relativité restreinte, la masse peut être convertie en chaleur, énergie cinétique ou autre forme d’énergie. En effet lorsque les particules d'un système donné subissent une transformation, par exemple lors d'une collision, la relativité restreinte impose que l'énergie totale (évaluée dans un certain système de coordonnées) se conserve. Mais comme l'énergie comprend la masse, il est tout-à-fait possible que de la masse apparaisse lors de la réaction (par exemple sous forme de particules) au détriment d'énergie ou que, au contraire, de l'énergie soit libérée par « consommation » de masse.
Numériquement, dans l'équationE = m**c et dans le système international d'unités :
E est l'énergie exprimée en joules,
m est la masse en kilogrammes,
c est la vitesse de la lumière dans le vide, soit 299 792 458 m/s = 2,997 924 58×10 m/s (soit c ≈ 300000 km/s), ce qui correspond à un facteur c ≈ 9×10 m⋅s.
Dans le système CGS, E est en erg, m en grammes, c vaut 2,997 925×10 cm/s et c ≈ 9×10 cm⋅s.
Ce type de transformation de masse en énergie est utilisée par les piles atomiques ainsi que des bombes nucléaires. L’énergie correspondant à 1 kg de matière est énorme, car égale à 9×10 joules : c'est l’énergie produite par un réacteur nucléaire d'une puissance de 1400 MW pendant deux ans environ. La France a produit en 2006 environ 80 % de son électricité dans des centrales nucléaires dont le bilan d'énergie peut être évalué à partir de la formule d'Einstein.
Domaine d'application général de la formule
Mais cette relation n'est pas réservée au domaine du nucléaire. Par exemple en chimie, lorsque 1 kg d'hydrogène se combine avec 8 kg d'oxygène pour former de l'eau, environ 10 joules d'énergie est libérée. Cette énergie correspond à une perte de masse d'environ 10 kg, ce qui entraine que la masse de l'eau formée est inférieure de cette quantité à la masse initiale de 9 kilogrammes des réactifs.
Cependant le défaut de masse, de l'ordre du dixième de milliardième en valeur relative, est trop infime pour pouvoir être mis en évidence par des mesures expérimentales, qui arrivent au mieux à l'ordre du centième de millionième. C'est pour ça que l'on continue à utiliser le « théorème classique » de la conservation de la masse dans les réactions chimiques et dans la vie courante, mais en toute rigueur c'est inexact.
Néanmoins, les mesures de spectrométrie de masse les plus pointues approchent cet ordre de précision. Et alors on pourra visualiser directement l'équivalent de masse de l'énergie de liaison moléculaire, comme on le fait avec l'énergie de liaison nucléaire.
Un autre exemple illustrant l'équivalence entre masse et énergie est donné par le défaut de masse de l'atome le plus simple : la masse de l'atome d'hydrogène 11H est inférieure à la somme des masses de l'électron et du proton d'une quantité juste égale à l'équivalent en masse de l'énergie d'ionisation de l'atome, bien que ce défaut soit tout à fait hors de portée de la mesure courante, puisqu'il vaut : Δm=(3⋅108 m/s)213,6×1,6⋅10−19 J≈2⋅10−35 kg ; c'est-à-dire un peu plus de dix milliardième (un centième de millionième) de la masse d'un proton...
On peut encore vérifier expérimentalement que la racine carrée du rapport E/m est égale à c dans l'exemple suivant. Dans la désintégration du positronium, il y a création et émission de deux rayons gamma d'énergie (mesurée) 0,511 MeV = 0,8186×10 J, en compensation de la disparition de deux masses d'électron.
La masse d'un électron étant de 9,11×10 kg, on trouve bien :
mE=9,11⋅10−31 kg0,82⋅10−13 J=9,0⋅1016m2/s2
et donc :
mE=3,0⋅108m/s=c.
À l'échelle astronomique, la formule explique également comment les étoiles, comme le Soleil, peuvent émettre leur énergie pendant des milliards d'années, alors que cette situation constituait un mystère pour la physique du début du XX siècle, aucune source d'énergie connue à l'époque ne pouvant en rendre compte.
Au centre du Soleil, les conditions physiques sont telles que s'y produisent des réactions nucléaires capables au bout d'une chaine de processus de transformer 4 noyaux d'hydrogène (4 protons), en un noyau d'hélium. Il se trouve que la masse au repos du noyau d'hélium (He) est inférieure à la somme des masses au repos des 2 protons et 2 neutrons qui le constituent. L'énergie équivalente à cette différence de masse est la source de l'énergie du Soleil, et grâce à l'importance du facteur de conversion c et à la masse considérable du Soleil, le calcul montre que l'énergie libérée permet à notre étoile de briller pendant une bonne douzaine de milliards d'années.
Formulation générale
Si la formule E = m**c concerne une particule au repos, c'est-à-dire une particule dont la vitesse est nulle dans le référentiel choisi, que devient cette expression dans un autre référentiel, avec une particule animée d'une vitesse v ?
Alors que la géométrie euclidienne raisonne sur des points repérés dans l'espace par trois coordonnées, la relativité restreinte raisonne sur des événements repérés dans l'espace-temps par quatre coordonnées, une de temps et trois d'espace. De même que la distance euclidienne entre deux points est invariante par changement de repère, de même la théorie relativiste stipule que le carré de l'intervalle d'espace-temps défini par :
c2Δτ=c2Δt2−Δs2,
où Δt représente l'intervalle de temps entre les deux événements et Δs la distance, est invariant par changement de repère. Autrement dit quand on mesure les coordonnées des mêmes événements dans plusieurs repères (t, x, y, z)), (t', x', y', z'), (t", x", y", z"),… différents la quantité suivante ne change pas de valeur :
c2Δτ=c2Δt2−Δs2=c2Δt′2−Δs′2=c2Δt′′2−Δs′′2=⋯.
Alors que la mécanique newtonienne considère d'une part l'énergie et d'autre part la quantité de mouvement d'un corps en mouvement, la relativité unifie ces deux concepts dans un objet unique : le quadrivecteur énergie-impulsion. Ce vecteur à quatre dimensions a pour composante temporelle l'énergie E/c de la particule et pour composante spatiale son vecteur impulsion (ou quantité de mouvement) p à trois dimensions. Comme il est le pendant du vecteur impulsion mv de la mécanique classique (produit de la masse par la vitesse) il est égal à mu où u est maintenant le quadrivecteur vitesse.
De même que le carré de l'intervalle d'espace-temps était invariant par changement de coordonnées, de même l'est le carré de la norme du quadrivecteur énergie-impulsion. Autrement dit la quantité :
(E/c)2−p2
est indépendante du repère dans lequel on l'évalue. Mais séparément, l'énergie et l'impulsion en dépendent.
Dans le repère propre de la particule, celui où elle est au repos, la vitesse, et donc l'impulsion, est nulle. Si on note E l'énergie dans ce repère propre l'invariance de la quantité précédente s'écrit :
(E/c)2−p2=(E0/c)2−0≡(E0/c)2,
La valeur de E nous est donné par le fameux mc de sorte que l'on aboutit à l'équation capitale suivante :
E2/c2−p2=(mc)2
ou encore :
E2−p2c2=m2c4.
La théorie montre que dans un repère où la vitesse de la particule est v l'énergie et la quantité de mouvement sont données par les formules :
E=γmc2≡mc2/1−(v2/c2)
p=γmv≡mv/1−(v2/c2)
avec la notation classique,
γ=1−(v2/c2)1.
On vérifie que E − p**c = m**c et on déduit de ces formules la relation importante entre énergie et impulsion :
p=(v/c)(E/c).
Cas d'une particule de masse nulle
Le cas d'une particule de masse nulle découle des formules précédentes, et notamment de :
p=(v/c)(E/c).
Si une particule a une vitesse égale à c son énergie est :
E=pc.
Par conséquent sa masse est nulle puisqu'elle est donnée par la formule :
m2c4=E2−p2c2=0.
Inversement si une particule a une masse nulle son énergie est E = p**c et par conséquent v = c.
En physique des particules, plusieurs particules ont une masse nulle et se déplacent à la vitesse c, dont les photons, qui transportent le rayonnement électromagnétique, et les bosons de jauge, qui transmettent les autres interactions fondamentales du modèle standard. Le neutrino a longtemps été considéré comme une particule de masse nulle mais des expériences récentes comme celle de Super-Kamiokande font penser que cette masse serait toute petite mais pas nulle. Dans le cadre de la relativité générale les ondes gravitationnelles se déplacent aussi à la vitesse de la lumière et la particule associée, appelée graviton, devrait être de masse nulle. Néanmoins à ce jour, et contrairement aux autres particules citées, ni le graviton ni le rayonnement gravitationnel associé n'ont été observés expérimentalement. Seul le rayonnement gravitationnel a été mis indirectement en évidence, par ses effets, dans la réduction des orbites d'un couple de pulsars.
Unités
Énergie en unités de masse
Les formules utilisées ci-dessus sont écrites en unités conventionnelles. Mais il peut être commode d'utiliser des unités mieux adaptées à l'espace-temps, en exprimant en particulier une énergie en kilogrammes, autrement dit en prenant comme unité d'énergie l'énergie d'un kilogramme de matière.
D'après la formule :
E(joules) = m(kilogrammes)×[c(m/s)],
l'énergie équivalente à la masse d'un kilogramme est :
énergie d'un kilogramme (en joules) = [c(m/s)].
Par conséquent l'énergie en unités de masse sera :
E(en unités de masse) ≡ E(en kilogrammes) = E(en joules)/(énergie d'un kilogramme en joules) ≡ E(en joules)/[c(m/s)]
De la même façon, la réunion du temps et de l'espace en une seule entité invite le physicien à utiliser une même unité, la seconde ou le mètre, pour mesurer les longueurs et les temps.
On a les formules de passage suivantes :
d(s)=c(m.s−1)d(m)
d(m)=c×d(s),
où d est le temps mis par la lumière pour parcourir d.
On écrit à l'identique :
t(m)=c×t(s),
t(s)=c(m.s−1)t(m)
où t est la distance parcourue par la lumière en t.
L'utilisation d'une unité commune, disons la seconde, pour mesurer distance et temps est riche d'enseignement dans le contexte présent. En effet grâce à ce choix la vitesse v, rapport d'une distance à un temps, devient sans dimension. Par conséquent l'énergie cinétique newtonienne K = (1/2)mv prend les dimensions d'une masse, ce qui revient à dire qu'on peut exprimer une énergie en unités de masse. On retrouve donc de façon simple, et néanmoins convenable, l'équivalence entre énergie et masse.
Ainsi, si l'énergie E est exprimée en unités de masse (par exemple en kilogrammes) la formule d'Einstein devient :
Ekg=mkg
ou plus simplement :
E=m.
En fait, en utilisant des unités relativistes, le facteur c disparaît de toutes les formules. Ainsi la formule donnant l'invariant du vecteur énergie-impulsion s'écrit maintenant :
Erel2−prel2=m2,
où E et p sont exprimées en unités relativistes (c'est-à-dire en kilogrammes).
De même il est agréable d'écrire le carré du temps propre sous la forme homogène et symétrique :
Δτ2=Δt2−Δs2
sans avoir à traîner des facteurs c.
Masse en électron-volt
En sens inverse il est très courant en physique atomique de mesurer une masse en unités d'énergie. Ainsi la masse d'une particule est souvent donnée en électron-volt.
La fameuse équation sur le gratte-ciel Taipei 101 en l'honneur de l'année de la physique 2005.
Un électron-volt vaut 1,602 176 53×10 joule, énergie à laquelle correspond la masse 1eV/c, soit 1,783×10 kg.
On a donc les formules de passage :
1eV=1,783×10−36kg
1kg=5,610×1035eV.
Puisque le nombre sans dimensions qui mesure une certaine grandeur est par définition le rapport entre la grandeur à mesurer et la grandeur choisie pour unité, ce nombre est inversement proportionnel à la valeur de l'unité choisie (si l'unité choisie est plus grande, le nombre qui mesurera la grandeur est lui plus petit).
Ici on a donc :
m(en eV) / m(en kg) = 1kg / 1eV,
de sorte que l'on peut écrire :
m(eV)=5,610×1035m(kg)
m(kg)=1,783×10−36m(eV)
Rappelons les multiples usuels :
1 keV = 10 eV
1 MeV = 10 eV
1 GeV = 10 eV
1 TeV = 10 eV
Par exemple, la masse de l'électron est de 511 keV, celle du proton de 938 MeV et celle du neutron est de 940 MeV.
Énergie d'une particule
L'énergie totale d'une particule isolée (qui dépend, rappelons-le, du repère choisi) peut s'écrire comme la somme de son énergie au repos mc et de son énergie cinétiqueK.
qui n'est plus la vraie masse m, mais qui, mesurant l'inertie de la particule, est parfois appelée masse inerte.
Dans ces conditions la formule écrite plus haut « E=γmc » donnant l'énergie de la particule prend la même forme :
E=mc2,
l'expression étant alors valable même dans le cas où le corps n'est pas au repos.
Cependant cet emploi est fortement déconseillé par les spécialistes. Ils font remarquer en effet que la vraie masse au repos, notée ici m, possède une signification physique indépendante du repère choisi car son carré est l'invariant du vecteur énergie-impulsion (en unités relativistes). Or cette propriété majeure n'est pas partagée par la pseudo-masse inerte m, qui elle dépend du repère choisi et ne mérite pas le nom de masse, car elle ne correspond plus à une véritable grandeur physique. Au mieux on peut considérer la formule E = m**c ainsi écrite comme un moyen mnémotechnique pour retenir l'expression de l'énergie mais la signification physique de cette formulation est faible.
