Fonction du second degré

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Introduction

Analyse

En mathématiques élémentaires, une fonction du second degré est une fonction définie sur $R$ par : $f (x) = a x^{2} + b x + c$ où a, b et c sont des réels (a non nul) appelés les coefficients.

a**x est le terme du second degré, b**x est le terme du premier degré et c est le terme constant.

Les fonctions du second degré ou trinômes du second degré constituent le deuxième champ d'étude des fonctions polynômes.

Forme canonique

Une fonction du second degré possède une forme réduite ou forme canonique qui permet de mettre en évidence sa relation avec la fonction carré :

f (x) = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + f (\frac{- b}{2 a})

Exemple : si $f (x) = 2 x^{2} + 4 x - 5$ , on remarque que $\frac{- b}{2 a} = - 1$ et que $f (- 1) = - 7$ donc $f (x) = 2 (x + 1)^{2} - 7$

Discriminant: Il est fréquent que la forme canonique soit donnée plus explicitement : le calcul de $f (\frac{- b}{2 a})$ donne $\frac{4 a c - b ^{2}}{4 a}$ . on pose alors :

Discriminant = $Δ = b^{2} - 4 a c$

Et on obtient :

f (x) = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a}

De cette forme canonique se déduisent tous les résultats concernant la fonction du second degré.

Racines

On dit que r est une racine de f si f(r) = 0.

On démontre que

si Δ > 0 alors f possède deux racines qui sont $r_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ et $r_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$
si Δ = 0 alors f possède une racine double qui est $r_{0} = \frac{- b}{2 a}$
si Δ < 0 alors f ne possède pas de racine dans $R$

Voir article détaillé : Équation du second degré

Cas de la racine évidente

Soit un trinôme du second degré, tel que $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .
Si $a + b + c = 0$ alors $f$ admet au moins une racine évidente égale à $1$ .

Opérations sur les racines

On note $S$ la somme des racines, et $P$ le produit des racines d'un polynome du second degré. On peut ainsi écrire:

S = \frac{- b}{a}

P = \frac{c}{a}

Factorisation

Dans le cas où le discriminant n'est pas négatif, on peut écrire la fonction du second degré sous forme d'un produit de fonctions du premier degré.

si $Δ > 0$ alors $f (x) = a (x - r_{1}) (x - r_{2})$
si $Δ = 0$ alors $f (x) = a (x - r_{0})^{2}$

Étude de signe

La factorisation précédente (ou l'absence de factorisation) permet de construire le tableau de signe de $f (x)$ . En réalité, il existe 6 cas de figure selon que $a$ est positif ou négatif et selon que $f$ . possède 2, 1 ou 0 racines. Ces six cas de figure se résument en une méthode : «Le signe de trinôme coincide avec celui de $a$ . sauf entre les racines»

Voir article détaillé: Inéquation du second degré

Représentation graphique

La forme canonique de la fonction $f$ permet de remarquer que sa courbe représentative est l'image de la courbe d'équation $y = a x^{2}$ par une translation de vecteur $u (\frac{- b}{2 a}, f (\frac{- b}{2 a}))$ .

La courbe représentative est donc toujours une parabole. Son sommet est le point $S (\frac{- b}{2 a}, f (\frac{- b}{2 a}))$ et son axe de symétrie est la droite d'équation $x = \frac{- b}{2 a}$ .

Les six paraboles ci-dessous illustrent les six cas de figures de l'étude de signe, selon le signe de $a$ et celui de Δ. On rappelle que $f (\frac{- b}{2 a}) = - \frac{Δ}{4 a}$

Sens de variation

Enfin, on peut déduire de cette courbe le sens de variation de $f$ :

Si $a > 0$ , la fonction est décroissante puis croissante et atteint son minimum en $- b /2 a$ ;
Si $a < 0$ , la fonction est croissante puis décroissante et atteint son maximum en $- b /2 a$

Ce résultat est confirmé, si on le souhaite, par le calcul de la dérivée de $f$ qui est $f^{'} (x) = 2 a x + b$ .