Fonction gamma

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Introduction

Tracé de la fonction gamma le long de l'axe des réels

La fonction gamma est, en mathématiques, une fonction complexe.

Elle prolonge la fonction factorielle à l'ensemble des nombres complexes (excepté en certains points).

Définition

Tracé du module de la fonction gamma sur le plan complexe

Pour $z \in C$ tel que $R e (z) > 0$ , on définit la fonction suivante :

Γ : z \mapsto \int_{0}^{+ \infty} t^{z - 1} e^{- t} d t

Cette intégrale converge absolument sur le demi-plan complexe où la partie réelle est strictement positive.

En intégrant par parties, on montre que :

Cette fonction peut être ainsi prolongée analytiquement en une fonction méromorphe sur l'ensemble des nombres complexes, excepté pour z = 0, −1, −2, −3, ... qui sont des pôles. C'est ce prolongement qu'on appelle généralement "fonction gamma".

Autres définitions

Les définitions suivantes de la fonction gamma par produits infinis, dues respectivement à Euler et Weierstrass, ont un sens pour les nombres complexes z qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls :

Γ (z) = n \to + \infty lim \frac{n ! n ^{z}}{z ( z + 1 ) \dots ( z + n )}

Γ (z) = \frac{e ^{- γ z}}{z} n = 1 \prod + \infty (1 + \frac{z}{n})^{- 1} e^{z / n}

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.