Intégrale impropre

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Introduction

L'intégrale impropre désigne une extension de l'intégrale usuelle, définie par une forme de passage à la limite dans des intégrales. On note en général les intégrales impropres sans les distinguer des véritables intégrales ou intégrales définies, ainsi

\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} d t

est un exemple très classique d'intégrale impropre convergente, mais qui n'est pas définie au sens de l'intégration usuelle (que ce soit l'intégration des fonctions continues par morceaux, l'intégrale de Riemann, ou celle de Lebesgue).

Dans la pratique, on est amené à faire une étude de convergence d'intégrale impropre

lorsqu'on intègre jusqu'à une borne infinie,
lorsqu'on intègre jusqu'à une borne en laquelle la fonction n'admet pas de limite finie,
lorsqu'on englobe un point de non définition dans l'intervalle d'intégration.

Dans chaque cas, on évaluera l'intégrale définie comme une fonction d'une des deux bornes et on prendra la limite de la fonction obtenue lorsque l'argument tend vers la valeur de la borne.

L'intégrale impropre partage un certain nombre de propriétés élémentaires avec l'intégrale définie. Elle ne permet pas d'écrire des résultats d'interversion limite-intégrale.

Intégrale impropre pour les fonctions continues

Définition

Soit $f : [a, b [⟶ R$ une fonction continue.

Si la limite $lim_{x \to b^{-}} \int_{a}^{x} f (t) d t$ existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de f sur [a,b[.

De la même manière, soit $f :] a, b] ⟶ R$ une fonction continue.

Si la limite $lim_{x \to a^{+}} \int_{x}^{b} f (t) d t$ existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de f sur ]a,b].

Dans les deux cas on note cette limite

\int_{a}^{b} f (t) d t

Si la limite existe et est finie on dit que $\int_{a}^{b} f (t) d t$ converge, sinon on dit qu'elle diverge.

Compatibilité avec l'intégrale définie : si f est en fait continue sur le segment [a,b], on obtient par ces définitions la même valeur que si on calculait l'intégrale définie de f.

Relation de Chasles

Soit $f : [a, b [⟶ R$ une fonction continue.

Alors $\forall (x, c) \in [a, b [^{2}$

\int_{a}^{x} f (t) d t = \int_{a}^{c} f (t) d t + \int_{c}^{x} f (t) d t

$\lim_{x \rightarrow b} \int_c^x f(t) dt\$ et $lim_{x \to b} \int_{a}^{x} f (t) d t$ sont de même nature

De plus, si $\exists c \in [a, b [$ tel que $\int_{c}^{b} f (t) d t$ converge

Alors $\forall d \in [a, b [, \int_{d}^{b} f (t) d t$ converge

et $\int_{c}^{b} f (t) d t = \int_{c}^{d} f (t) d t + \int_{d}^{b} f (t) d t$

Intégrale impropre bilatère

Soit $f :] a, b [⟶ R$ continue sur ]a,b[

Soit $c \in] a, b [$ fixé

La relation de Chasles nous dit que

Si $\int_{c}^{b} f (t) d t$ converge

Alors $\forall d \in] a, b [, \int_{d}^{b} f (t) d t$ converge et

\int_{c}^{b} f (t) d t = \int_{c}^{d} f (t) d t + \int_{d}^{b} f (t) d t

Si $\int_{a}^{c} f (t) d t$ converge

Alors $\forall d \in] a, b [, \int_{a}^{d} f (t) d t$ converge et

\int_{a}^{c} f (t) d t = \int_{a}^{d} f (t) d t + \int_{d}^{c} f (t) d t

Quand ces deux conditions sont vérifiées, on appelle intégrale impropre de f sur ]a,b[ la somme

\int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{a}^{d} f (t) d t + \int_{d}^{b} f (t) d t