Lacet (mathématiques)

En mathématiques, un lacet est la modélisation d'une « boucle ». C'est une courbe continue et fermée, c'est-à-dire que ses extrémités sont confondues. La notion de lacet est utile en analyse complexe et en topologie.

Si $X$ est un espace topologique, on appelle lacet sur $X$ toute application continue $\gamma :[0,1]\to X$ telle que $\gamma (0)=\gamma (1)$.

Autre définitions :

• Un lacet sur $X$ est un chemin sur $X$ dont l'extrémité est confondue avec l'origine.
• Un lacet sur $X$ est une application continue de $S^1$ vers $X$.

(où $S^1$ dénote le cercle unité $\left\{z\in \mathbb{C}||z|=1\right\}$)

En analyse complexe on s'intéresse aux lacets qui sont aussi des courbes rectifiables.

On peut aussi définir les lacets polygonaux, ou de classe $C^k$ (voir Chemins).

Dans le cas $X=\mathbb{C}$, on peut définir l'indice $I(\gamma ,z_0)$ d'un lacet γ par rapport à un point $z_0\in \mathbb{C}\setminus \gamma ([0,1])$ : il correspond au nombre (entier algébrique) de tours effectués par le lacet autour de ce point.

On peut l'obtenir en calculant :