Ceci est une liste de critères de divisibilité des nombres écrits en base décimale, exposés sans démonstration.
Pour les démonstrations ou les méthodes ayant permis d'établir ces critères, voir l'article Critère de divisibilité.
Dans tout cet article, un nombre de n chiffres est représenté par .
étant le chiffre des unités.
étant le chiffre des dizaines.
étant le chiffre des centaines.
Et ainsi de suite.
| Divisibilité par : | Énoncé du critère : | Exemple : |
|---|---|---|
| 1 | Tout nombre entier est divisible par 1 | * 1, 2, 3, 4 sont divisibles par 1. |
| 2 | Un nombre est pair, c'est-à-dire divisible par 2, si et seulement si son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8. | * 15679205738 est divisible par 2 car il se termine par 8 qui est un nombre pair ;
|
| 3 | Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. | 35796825 est divisible par 3 car :
|
| 4 | Un nombre est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. | * 356812970332548 est divisible par 4 car il se termine par 48 et nous voyons que 48 est divisible par 4. |
| 5 | Un nombre est divisible par 5 si et seulement s'il se termine par 0 ou 5. | * 1296837402275 est divisible par 5 car il se termine par 5. |
| 6 | * Un nombre est divisible par 6 si et seulement s'il est divisible à la fois par 2 et par 3. | * 24186 est divisible par 6, car :
|
| * Un nombre est divisible par 6 si et seulement si la somme de son premier chiffre (unité) avec la somme des autres chiffres multipliée 4 donne un multiple de 6. | 558 est divisible par 6 car 8+4×(5+5)=48 8+4×4=24 4+2×4=12 2+4×1=6 est un multiple de 6 | |
| 7 | * Le nombre est divisible par 7 si et seulement si est divisible par 7. Plus simplement un nombre est divisible par 7 si la différence entre le nombre de dizaines et le double du chiffre des unités est divisible par 7. | * 182 est divisible par 7 car :
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| * Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 3 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -. On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 7, alors le nombre considéré est divisible par 7. Bien sûr pour voir si le résultat de l'opération précédente est divisible par 7, on peut utiliser le lemme de divisibilité par 7. | *5527579818992.
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| Méthode de Toja - Découper le nombre par tranches de 2 chiffres et chercher la distance entre chaque nombre de 2 chiffres et le multiple de 7 le plus proche (alternativement par excès et par défaut). Cette méthode ne nécessite pas d'effectuer la division complète mais nécessite de connaître sa table de multiplication par 7 jusqu'à 14. | * 5527579818992.
| |
| 8 | Un nombre est divisible par 8 si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8. | 100636136 est divisible par 8 car 136 est divisible par 8. |
| 9 | Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. | 423 est divisible par 9 car 4 + 2 + 3 = 9 et 9 est divisible par 9. |
| 10 | Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0. | 1275689573270 est divisible par 10 car il se termine par 0. |
| 10 | Un nombre est divisible par 10 si ses n derniers chiffres sont égaux à 0. | * 154652500000 est divisible par 10 car ses 5 derniers chiffres sont des 0 ;
|
Un nombre est divisible par 5 si les n derniers chiffres de celui-ci forment un nombre divisible par 5.
57 962 895 185 796 257 543 625 est divisible par 5 = 125 car 625 est divisible par 125.
Un nombre est divisible par 10 si ses n derniers chiffres sont égaux à 0.
154652500000 est divisible par 10 car ses 5 derniers chiffres sont des 0.
Pour déterminer si un nombre N est divisible par 11 :
N est divisible par 11 si et seulement si la différence A – B (ou B – A) est divisible par 11.
Cela revient à effectuer la somme alternée de ses chiffres.
Considérons le nombre 19 382.
A = 1 + 3 + 2 = 6
B = 9 + 8 = 17
B – A = 17 – 6 = 11
Nous trouvons un résultat divisible par 11, donc 19 382 est divisible par 11.
On sépare le nombre par tranche de deux chiffres à partir des unités en intercalant des + et on effectue l'opération obtenue. Si le résultat est divisible par 11 alors le nombre de départ est divisible par 11.
Reprenons l'exemple précédent 19382, on obtient :
1 + 93 + 82 = 176
Comme le résultat a plus de deux chiffres, on recommence :
1 + 76 = 77
77 est divisible par 11 donc 19 382 est divisible par 11 d'après la propriété.
Si un nombre de trois chiffres a son chiffre du milieu égal à la somme des deux chiffres extrêmes et que cette somme est inférieure à 9 alors il est divisible par 11.
374 est divisible par 11 car 3 + 4 = 7 on obtient 374 = 11 x 34.
Attention : c'est un critère de divisibilité mais pas de non-divisibilité :
825 est divisible par 11 ; (825 = 11 x 75); alors que 8 + 5 ≠ 2.
Un nombre est divisible par 12 s'il est divisible par 3 et par 4.
Soit le nombre 3085755924.
Il satisfait au critère de divisibilité par 3 car 3 + 0 + 8 + 5 + 7 + 5 + 5 + 9 + 2 + 4 = 48 qui est divisible par 3.
Il satisfait au critère de divisibilité par 4 car Il se termine par 24 qui est divisible par 4
Par conséquent 3085755924 est divisible par 12.
Le nombre est divisible par 13 si et seulement si est divisible par 13.
637 est divisible par 13 car
63 + 4 x 7 = 91
et 91 est divisible par 13.
D'une manière plus générale il suffit de répéter l'opération ci-dessus jusqu'à obtenir comme résultat final 13, 26 ou 39. Ce qui prouvera que le nombre considéré au départ est divisible par 13.
Soit le nombre 224185. On a :
22418 + 4 × 5 = 22438
2243 + 4 × 8 = 2275
227 + 4 × 5 = 247
24 + 4 × 7 = 52
5 + 4 × 2 = 13
Nous obtenons 13 donc 224185 est divisible par 13.
Supposons que l'on veuille savoir si un nombre contenant un grand nombre de chiffres est divisible par 13.
Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 3 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -.
On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 13, alors le grand nombre considéré est divisible par 13.
Bien sûr pour voir si le résultat de l'opération précédente est divisible par 13, on peut utiliser le lemme de divisibilité par 13.
Soit le nombre 1633123612311854.
On le sépare par tranche de trois à partir des unités.
1 | 633 | 123 | 612 | 311 | 854.
On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.
1 - 633 + 123 - 612 + 311 - 854.
On effectue l'opération ainsi écrite.
1 - 633 + 123 - 612 + 311 - 854 = -1664
Le résultat est négatif, mais on peut prendre sa valeur absolue 1664 et continuer.
On regarde si 1664 est divisible par 13 à l'aide du lemme de divisibilité par 13.
166 + 4×4 = 182
18 + 4×2 = 26
26 est divisible par 13 donc 1633123612311854 est divisible par 13.
Un nombre est divisible par 14 s’il est à la fois divisible par 7 et par 2.
Un nombre est divisible par 15 s'il est à la fois divisible par 3 et par 5
Un nombre est divisible par 16 si le nombre formé par ses 4 derniers chiffres est divisible par 16.
2007557744 est divisible par 16 car 7744 est divisible par 16.
Le nombre est divisible par 17 si et seulement si est divisible par 17.
Il suffit de répéter l'opération ci-dessus et de vérifier que le résultat final est un multiple de 17.
Soit le nombre 3723. On a
372 – 5 × 3 = 357
35 – 5 × 7 = 0
Nous trouvons un résultat divisible par 17 donc 3723 est divisible par 17.
Supposons que l'on veuille savoir si un nombre contenant un très grand nombre de chiffres est divisible par 17.
Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 8 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -.
On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 17, alors le grand nombre considéré est divisible par 17.
Bien sur pour voir si le résultat de l'opération précédente est divisible par 17, on peut utiliser le début de ce paragraphe.
Soit le nombre 416521368699986479153682401.
On le sépare par tranche de 8 à partir des unités.
416 | 52136869 | 99864791 | 53682401.
On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.
416 - 52136869 + 99864791 - 53682401.
On effectue l'opération ainsi écrite.
416 - 52136869 + 99864791 - 53682401 = -5954063
Le résultat étant négatif, on prend la valeur absolue 5954063
On regarde si 5954063 est divisible par 17 à l'aide du lemme de divisibilité par 17.
595406 - 5×3 = 595391
59539 - 5×1 = 59534
5953 - 5×4 = 5933
593 - 5×3 = 578
57 - 5×8 = 17
Nous obtenons un résultat divisible par 17 donc 416521368699986479153682401 est divisible par 17.
Un nombre est divisible par 18 s’il est divisible à la fois par 9 et par 2.
Le nombre est divisible par 19 si et seulement si est divisible par 19.
247 est divisible par 19 car
24 + 2 x 7 = 38
et 38 est divisible par 19.
Pour savoir si un nombre est divisible par 19, Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 9 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -. On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 19, alors le nombre considéré est divisible par 19.
Soit le nombre 48822138835949515214962479.
On le sépare par tranche de neuf chiffres à partir des unités.
48822138 | 835949515 | 214962479.
On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.
48822138 - 835949515 + 214962479
On effectue l'opération ainsi écrite.
48822138 - 835949515 + 214962479 = -572164898
Le résultat n'ayant que 9 chiffres, on vérifie aisément à l'aide d'une calculatrice que 572164898 est divisible par 19 (alors que ce n'était pas possible au départ avec le nombre de 26 chiffres sur la plupart des calculatrices) donc 48822138835949515214962479 est divisible par 19.
Un nombre est divisible par 21 s'il est à la fois divisible par 7 et par 3
Le nombre est divisible par 21 si et seulement si est divisible par 21.
567 est divisible par 21 car
56 – 2 x 7 = 42
et 42 est divisible par 21.
Plus généralement pour voir si un nombre est divisible par 21 il suffit de répéter l'opération jusqu'à obtenir 0, ce qui montrera que le nombre est divisible par 21.
Soit le nombre 5289417.
On a :
528941 - 2×7 = 528927.
52892 - 2×7 = 52878.
5287 - 2×8 = 5271.
527 - 2×1 = 525.
52 - 2×5 = 42.
4 - 2×2 = 0.
Nous trouvons 0, donc 5289417 est divisible par 21.
Un nombre est divisible par 22 s'il est à la fois divisible par 11 et par 2
Le nombre est divisible par 23 si et seulement si est divisible par 23.
3151 est divisible par 23 si 315 + 7 x 1 = 322 est divisible par 23.
322 est divisible par 23 si 32 + 7 x 2 = 46, ce qui est le cas (2 x 23).
Donc, 3151 est un multiple de 23.
Pour savoir si un nombre est divisible par 23, il suffit de séparer ce nombre par tranche de 11 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -. On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 23, alors le nombre considéré est divisible par 23.
Soit le nombre 5420689351066034652617594500202.
On le sépare par tranche de onze chiffres à partir des unités.
542068935 | 10660346526 | 17594500202.
On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.
542068935 - 10660346526 + 17594500202
On effectue l'opération ainsi écrite.
542068935 - 10660346526 + 17594500202 = 7476222611
Ensuite, 7476222611 se transforme en 747622261 + 7 (= 747622268) qui se transforme en 74762226 + 56 (= 74762282), qui se transforme en 7476228 + 14 (= 7476242), qui se transforme en 747624 + 14 (= 747638), qui se transforme en 74763 + 56 (= 74819), puis en 7481 + 63 (= 7544), puis en 754 + 28 (= 782), puis en 78 + 14 (= 92) multiple de 23
Un nombre est divisible par 24 s'il est à la fois divisible par 8 et par 3.
Un nombre est divisible par 25 si son écriture « se termine » par 00, 25, 50 ou 75, c'est-à-dire si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 25.
1759568258975 est divisible par 25 car il se termine par 75.
Un nombre est divisible par 26 s'il est à la fois divisible par 13 et par 2
Pour savoir si un nombre est divisible par 27, on le sépare par groupe de 3 chiffres à partir des unités en intercalant des +. On effectue l'opération obtenue. Si le résultat est divisible par 27, alors le nombre est divisible par 27.
Soit le nombre 68748098828632988661.
On effectue l'opération
68 + 748 + 098 + 828 + 632 + 988 + 661 = 4023.
Le résultat ayant plus de 3 chiffres, on peut recommencer une fois
4 + 023 = 27.
Nous trouvons un résultat divisible par 27, donc 68748098828632988661 est divisible par 27.
Un nombre est divisible par 28 s'il est à la fois divisible par 7 et par 4.
Le nombre est divisible par 29 si et seulement si est divisible par 29.
87 est divisible par 29 car
8 + 3 x 7 = 29
et 29 est divisible par 29.
Pour voir si un nombre est divisible par 29 il suffit de répéter l'opération jusqu'à obtenir 29, ce qui montrera que le nombre est divisible par 29.
Soit le nombre 751593.
On a :
75159 + 3×3 = 75168.
7516 + 3×8 = 7540.
754 + 3×0 = 754.
75 + 3×4 = 87.
8 + 3×7 = 29.
Nous trouvons 29, donc 751593 est divisible par 29.
Un nombre est divisible par 30 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 et s'il se termine par 0.
96442710 est divisible par 30 car il se termine par 0 et 9 + 6 + 4 + 4 + 2 + 7 + 1 + 0 = 33 qui est divisible par 3.
Le nombre est divisible par 31 si et seulement si est divisible par 31.
1054 est divisible par 31 car
105 – 3 x 4 = 93
et 93 est divisible par 31.
Pour voir si un nombre est divisible par 31 il suffit de répéter l'opération jusqu'à obtenir 0, ce qui montrera que le nombre est divisible par 31.
Soit le nombre 16022567.
On a :
1602256 - 3×7 = 1602235.
160223 - 3×5 = 160208.
16020 - 3×8 = 15996.
1599 - 3×6 = 1581.
158 - 3×1 = 155.
15 - 3×5 = 0.
Nous trouvons 0, donc 16022567 est divisible par 31.
Un nombre est divisible par 32 si le nombre formé par ses 5 derniers chiffres est divisible par 32.
68002175356285458568922152187753216864 est divisible par 32 car 16864 est divisible par 32.
Un nombre est divisible par 33 s’il est divisible à la fois par 11 et par 3.
Un nombre est divisible par 34 s’il est divisible à la fois par 17 et par 2.
Un nombre est divisible par 35 s’il est divisible à la fois par 7 et par 5.
Un nombre est divisible par 36 s’il est divisible à la fois par 9 et par 4.
Pour savoir si un nombre est divisible par 37, on le sépare par groupe de 3 chiffres à partir des unités en intercalant des +. On effectue l'opération obtenue. Si le résultat est divisible par 37, alors le nombre est divisible par 37.
Soit le nombre 19375414619668141953881.
On effectue l'opération :
19 + 375 + 414 + 619 + 668 + 141 + 953 + 881 = 4070
Le résultat ayant plus de 3 chiffres, on peut recommencer une fois
4 + 070 = 74
74 est divisible par 37 donc 19375414619668141953881 est divisible par 37.
Un nombre est divisible par 38 s’il est divisible à la fois par 19 et par 2.
Un nombre est divisible par 39 s’il est divisible à la fois par 13 et par 3.
Le nombre est divisible par 39 si et seulement si est divisible par 39.
702 est divisible par 39 car
70 + 4 x 2 = 78
et 78 est divisible par 39.
Plus généralement, pour voir si un nombre est divisible par 39 il suffit de répéter l'opération jusqu'à obtenir 39, ce qui montrera que le nombre est divisible par 39.
Soit le nombre 49803.
On a :
4980 + 4×3 = 4992.
499 + 4×2 = 507.
50 + 4×7 = 78.
7 + 4×8 = 39.
Nous trouvons 39, donc 49803 est divisible par 39.
Un nombre est divisible par 40 s’il est divisible à la fois par 8 et par 5.
Le nombre est divisible par 41 si et seulement si est divisible par 41.
1066 est divisible par 41 car
106 – 4 x 6 = 82
et 82 est divisible par 41.
Pour voir si un nombre est divisible par 41 il suffit de répéter l'opération jusqu'à obtenir 0, ce qui montrera que le nombre est divisible par 41.
Considérons le nombre 89011.
On a :
8901 – 4 x 1 = 8897
889 – 4 x 7 = 861
86 – 4 x 1 = 82
8 – 4 x 2 = 0
Nous obtenons 0 donc 89011 est divisible par 41.
Pour savoir si un nombre est divisible par 41, on le sépare par groupe de 5 chiffres à partir des unités en intercalant des +. On effectue l'opération obtenue. Si le résultat est divisible par 41, alors le nombre est divisible par 41
Soit le nombre 2136561442277796449261.
On effectue l'opération :
21 + 36561 + 44227 + 77964 + 49261 = 208034
Le résultat ayant plus de 5 chiffres, on peut recommencer une fois
2 + 08034 = 8036
On peut vérifie que 8036 est divisible par 41 en utilisant le lemme de divisibilité par 41.
On a
803 – 4 x 6 = 779
77 – 4 x 9 = 41
4 – 4 x 1 = 0
Nous trouvons 0 donc 2136561442277796449261 est divisible par 41.
Un nombre est divisible par 42 s’il est divisible à la fois par 7 et par 3 et par 2.
Un nombre est divisible par 44 s’il est divisible à la fois par 11 et par 4.
Pour savoir si un nombre est divisible par 73, Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 4 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -.
On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 73, alors le nombre considéré est divisible par 73.
Soit le nombre 410690207551027101452.
On le sépare par tranche de quatre chiffres à partir des unités.
4 | 1069 | 0207 | 5510 | 2710 | 1452.
On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.
4 - 1069 + 0207 - 5510 + 2710 - 1452
On effectue l'opération ainsi écrite.
4 - 1069 + 0207 - 5510 + 2710 - 1452 = 5110
On vérifie aisément que 5110 est divisible par 73 donc 410690207551027101452 est divisible par 73.
Pour savoir si un nombre est divisible par 101, Il suffit de séparer ce nombre par tranches de 2 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -. On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 101, alors le nombre considéré est divisible par 101.
Soit le nombre 5517208188911037227.
On le sépare par tranches de 2 chiffres à partir des unités.
5 | 51 | 72 | 08 | 18 | 89 | 11 | 03 | 72 | 27.
On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.
5 - 51 + 72 - 08 + 18 - 89 + 11 - 03 + 72 - 27.
On effectue l'opération ainsi écrite.
5 - 51 + 72 - 08 + 18 - 89 + 11 - 03 + 72 - 27 = 0.
0 est divisible par 101 donc 5517208188911037227 est divisible par 101.
On trouvera souvent 0 comme résultat de ce calcul si le nombre de départ est divisible par 101 car on soustrait et on additionne alternativement des nombres de deux chiffres et on a, par conséquent, une probabilité assez faible de tomber sur un multiple de 101 autre que 0.
Pour savoir si un nombre est divisible par 137, Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 4 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -. On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 137, alors le nombre considéré est divisible par 137.
Soit le nombre 2510792736157732104.
On le sépare par tranche de quatre chiffres à partir des unités.
251 | 0792 | 7361 | 5773 | 2104.
On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.
251 - 0792 + 7361 - 5773 + 2104
On effectue l'opération ainsi écrite.
251 - 0792 + 7361 - 5773 + 2104 = 3151
On vérifie aisément que 3151 est divisible par 137 donc 2510792736157732104 est divisible par 137.