Loi du zéro-un de Borel

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Introduction

La loi du zéro-un de Borel a été publiée en 1909 dans l'article Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques, par Émile Borel, en vue, semble-t-il, d'applications aux propriétés des fractions continues. Un peu plus tard, Cantelli aurait remarqué et utilisé le fait que, pour l'un des deux sens, l'hypothèse d'indépendance est superflue, ce qui conduit au lemme de Borel-Cantelli, d'un usage courant en probabilités : un exemple phare est sûrement la démonstration, par Kolmogorov, de la loi forte des grands nombres.

Énoncé

Dans un espace probabilisé $(Ω, A, P),$ considérons une suite $(A_{n})_{n \geq 0}$ d'éléments de $A$ (ou "évènements"). La loi du zéro-un de Borel stipule que :

Loi du zéro-un de Borel — Si les événements $A_{n}$ sont indépendants, alors

P (n lim sup A_{n})

vaut 0 ou 1 suivant que la série de terme général $P (A_{n})$ est convergente ou divergente.

Limite supérieure d'ensembles

Définition — La limite supérieure $lim sup_{n} A_{n}$ d'une suite $(A_{n})_{n \geq 0}$ de parties d'un ensemble $Ω$ est l'ensemble des éléments $ω$ de $Ω$ tels que l'assertion ${ω \in A_{k}}$ soit vérifiée pour une infinité d'indices $k \geq 0$ .

En d'autres termes, on peut dire que $ω \in lim sup_{n} A_{n}$ si et seulement si l'ensemble ${k \geq 0 ∣ ω \in A_{k}}$ est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout $n \geq 0$ , on peut trouver $k \geq n$ tel que $ω \in A_{k}$ . Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles :

n lim sup A_{n} = n \geq 0 ⋂ (k \geq n ⋃ A_{k}) .

Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que $ω \in lim sup_{n} A_{n}$ si et seulement si $\scriptstyle\ \{\omega\in A_k\}\$ "infiniment souvent" ou bien "infinitely often", d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :

P (n lim sup A_{n}) = P (A_{n} i.o.) .

La définition " $ω \in lim sup_{n} A_{n}$ si et seulement si $\scriptstyle\ \omega\$ appartient à une infinité de $\scriptstyle\ A_k\$ " peut induire en erreur : si, par exemple, toutes les parties $\scriptstyle\ A_k\$ sont égales, il se peut que $\scriptstyle\ \omega\$ appartienne à $\scriptstyle\ A_k\$ pour une infinité d'indices $\scriptstyle\ k\$ , et il se peut donc que $\scriptstyle\ \omega\$ appartienne à $lim sup_{n} A_{n},$ sans pour autant qu' $\scriptstyle\ \omega\$ appartienne à une infinité de $\scriptstyle\ A_k\$ (puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul $A_{k}$ ).